图解静力学：力的合成与分解

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力学史上，图解静力学是一种完全依靠几何作图，不通过计算求解的力学分析方法。19世纪中后期，图解静力学还被作为正式的力学分支学科，广泛应用于工程结构的力学分析中。20世纪以后，随着力学理论的不断发展，许多力学框架不再适合用图形的方式展现，图解法也逐渐走向衰弱。近年来，随着计算机视觉呈现能力的发展，图解法又出现了复兴迹象，而且图解法所具有的形象、直观特性，对于力学初学者，在理解静力学基本原理方面仍具有较强的吸引力。本文试图通过回顾图解静力学的发展过程，以力合成与分解的图解法为例，体会力学图解法的魅力。

利用图例求解力学问题，大概可追溯到阿基米德（Archimedes，约前287-前212年）。在《论平面图形的平衡》中，阿基米德用代数加图例的方式解释杠杆原理的各种应用。如书中命题6，“可公度的两个量，当其（距支点的）距离与两量成反比例时，处于平衡状态”。借助于图1，该命题被转化为证明：若A、B表示物体的重量，当满足条件：A:B=DC:CE 时，把A放在E处，B放在D处，C为A、B的总体的重心。

图1 阿基米德《论平面图形的平衡》中的图例

上述示例可认为是由重力组成的平行力系，对重心的讨论就是各重物所受重力的合成。显然，阿基米德时期，力矢量的概念还没有出现，重力只能用重物来表示。

遗憾的是，在阿基米德之后很长时间，力学图解法几乎没有任何发展。这可能与古希腊哲学家对工匠技术的偏见有关。由于图形的形象直观，工匠很乐意采用图形来描绘各种作品。然而，古希腊哲学家认为工匠的工作只是改变了物质的形态，本身并没有任何创造，只有哲学家依靠头脑创造出世界上从来没有过的知识才是创造。因此，大多数情况下，哲学家根本看不上工匠。而工匠也因生活所迫（工匠多为奴隶或社会底层人民），并没有太多的时间和精力去思考科学问题。这就在进行知识创造的哲学家和从事工程实践的工匠之间造成了隔阂，也在力学知识与图例求解之间造成了隔阂。

直到文艺复兴时期（阿基米德1700多年后），人们又在达芬奇 (Leonardo di ser Piero da Vinci, 1452-1519) 的手稿中，看到了利用图例演绎的力学问题，如图2所示，可以看到达芬奇用线段来表示力，这可能说明他已经在思考力矢量的图形表达了。

图2 达芬奇手稿中杠杆示例

在另一份草图中，有一张类似于拱受力的杆系结构图，如图3所示，在杆件上面作用一垂直荷载Q，在画出该受力图后，达芬奇提出了一个问题：“在a及b处要加上怎样的力才能使杆系保持平衡？”铁木辛柯根据草图中所画的虚线平行四边形，认为他可能已经知道了拱结构存在水平推力的事实，或许他已经知道了力的分解法则。

图3 达芬奇有关杆系结构的研究草图《材料力学史》

目前认为，提出力合成与分解平行四边形法则的是荷兰数学家、工程学家斯蒂文 (Simon Stevin，或者Simon Stevinus，1548-1620)，他比达芬奇晚了近一个世纪。斯蒂文在他的《静力学原理》（1586年）中构造了一对斜面，如图4所示，设有一串串珠等间距的放置在斜面上，斯蒂文进行了以下证明：

  · 串珠必然是稳定的。反证：如果它在一边的力超过另一边，它将向右或者向左滑动，由于串珠的循环性，将成为永动机，这不可能。

  · 由于悬挂在下面的链条部分是对称的，这说明在每一边的力是相等的。因此，串珠的这一部分可以被减掉，斜面上的串珠依然平衡。

  · 因为串珠具有相同的间隔，每个面上总载荷正比于斜面长度。由于每个串珠所受的斜面支持力与拉力相同，因此斜面越长就越能体现出其省力优势。

第一条，斯蒂文利用永动机反证了串珠必须平衡；第二条，由于下方串珠因对称所以两端受力相等，因此可剪去下面的串珠，上部串珠平衡；第三条，这里的总载荷应该理解为沿斜面上的力，由于总载荷相同，因此当串珠数较多时，分到每个串珠上的力就小，因此对于每个串珠来说，斜面越长，拉住串珠就越省力，也就说明了力的分解规律。

图4 斯蒂文的斜面

这个实验通过拓展，即可演绎出平行四边形法则。利用该法则，既可以进行力的合成，也可以进行力的分解。不过，斯蒂文只是利用实验手段凭直觉得到了力平行四边形法则（见斯蒂文及其力学贡献），并没有进行严格的数学证明。在斯蒂文的著作中，明确了用线段表示力的方式，这也使一些当代学者认为他是第一位将力矢量用图形化表达出来的人。

又100多年后，1687年法国数学家伐利农 (Pierre Varignon, 1654-1722) 出版了《新力学大纲》，书中第一次对力矩的概念和运算规则做出了科学的说明，并首次提出了静力学一词。1725年（伐利农去世后三年），在他另一本著作《机械的或静止的》(Nouvelle Mecanique ou Statique) 中，引入了索多边形和力多边形，以图形的方式构建悬挂重物悬链形态问题，这成为图解静力学的重要基础。

图5 伐利农的索多边形（左）和力多边形（右）

1864年和1866年，德裔瑞士土木工程师，苏黎世瑞士联邦理工学院库尔曼教授 (KarlCulmann, 1821-1881) 出版2卷《图解静力学》(Die graphische Statik)，系统化的梳理和扩展了图解法，正式将其命名为图解静力学。此后，图解静力学作为力学的一个重要分支在世界范围内的广泛关注。许多建筑设计师利用该方法验算结构设计的合理性，并对设计方案进行优化选择。

图6 库尔曼和他的图解静力学

为了便于体会图解力学的方法，这里我们先选择求解平面任意力系合力的例子，来说明图解法的求解过程，以体会力学图解法的魅力。假设在某一刚体上作用有任意三个集中力（更多力的情况类似，只是会变的较为复杂），分别标记为1、2、3，如图7所示。

图7 任意平面力系求合力示例

求解时，先在平面内任选一点E（图7中右下图），做矢量EF等价于力1（大小和方向相同），然后以F点为起点，做FG矢量等价于力2，再以G点为起点，做矢量GH等价于力3。显然，连接EH即为三力的合力，这就是力合成的多边形法则。这一方法避免了数学求解，只需要在平面内连接各个力的矢量，最终连接第一个力矢量的起点和最后一个矢量的终点就得到了任意力系的合力，通过测量EH的长度，就可得到合力的大小，EH的指向即为合力的方向。这就是现在多数《理论力学》和《工程力学》中，求解合力的多边形法则。

这里仍存在一个问题，仅知道合力的大小和方向，如果不知道合力作用点（或线）的位置，仍然无法判定刚体的运动效果。实现这一目的，需要三个步骤：

  · 在辅助图中（右下图），以力多边形为基础，在不太远的地方任选一点O，称为极点，依次连接EO，FO，GO，HO。

  · 原力系中（左上图），在力1附近任选一点d，过d点做EO的平行线，交力1延长线于e，然后再过e点做FO的平行线交力2的延长线于g，继续过g点做GO的平行线交力3的延长线于k，最后过k点做HO的平行线，记为kH。

  · 延长起始的平行线de和最后的平行线Hk，标记它们的交点为K，则K点就是合力作用线上的一点。将合力EF平移至K点，由于刚体上的力可沿作用线滑移，就可以明确合力对于刚体的作用效果。

可能有的同学会问，图解法可靠吗？如何保证合力的作用线一定经过K点。为了便于理解，我们再取只含有两个竖直力的例子，对合力通过K点进行严格的证明。如图7所示，刚体上承受力1和力2，根据图解法作出辅助图，如图8中右下图所示，这里由于力系为平行力系，因此力多边形变为直线，力系合成图如图8中左上图所示，eF//Ao，FG//Bo，GH//Co，各线条和力的辅助线标识方法如图所示。

图8 平面一对平行力合成示例

现在，我们证明合力通过K点。首先，将力1平移到F点，记为矢量Fd，并对Fd进行平行四边形分解为Fc和Fe；将力2平移到G点，记为矢量Gg，并对Gg进行平行四边形分解为Gh和Gf。以下进行证明：

因为：eF//Ao，de//FG//Bo，且AB=Fd，

所以：△Fde与△ABo全等，de=Bo。平行四边形得，Fc=de=Bo。

因为：GH//Bo, gh//Co，且hg=BC，

所以：△Ggh与△BCo全等，Gh=Bo。

所以：Fc=Gh，相互抵消，剩下只有分力fe和分力Gf，其合力必过其交点K，得证。对于三个力或更多的力，都可以用同样的方式先进行力的分解，最后的结果，除了第一个分力和最后一个分力之外，其它分力都可以相互抵消，最终证明合力通过K点。

可以看出，利用图解法求解力学问题，只要有直尺、会画平行线，就可以得到任意力系的合力，没有涉及任何的数学推导与求解。在教学中，对于那些空间想象能力强的同学，先以图解法为其打开力学分析的大门，或许也是一种不错的选择。

参考文献：
[1] 孟宪川, 赵辰. 图解静力学简史. 建筑师. 2012(6):
[2] 伏龙科夫[著]，吕茂烈等[译]. 理论力学教程. 高等教育出版社. 1958.2
[3] Baranyai T. Analytical graphic statics[J].International Journal of Space Structures, 2021, 36(2): 117-126.
[4] Gerhardt R , Kurrer K E ,  Pichler G . Themethods of graphical statics and their relation to the structural form[J].Santiago Huerta Fernández, 2003, 22(1): 997-1006.
[5] Kurrer K E . The History of the Theory ofStructures: Searching for Equilibrium[M]. 2018.
[6] 百度、维基等百科知识。

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。