弹性力学的基本假设

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弹性力学建立方程的思想是先在弹性物体上任选一点，然后以该点为基准取微元体，再设微元体的应力分量（解决工程中的强度、稳定性问题）、应变分量（解决工程中的强度问题）和位移分量（解决工程中的刚度、稳定性问题）为未知量，根据微元体需要满足的平衡条件、几何条件、应力与变形之间的关系建立基本方程，即平衡方程、几何方程和物理方程。从而实现了用数学理论对实际物体变形特征的精确描述。

然而，数学方程所具有的连续性和一致性，对于任何实际材料而言，并不是严格满足的。为了调和数学与实际材料的这种矛盾，力学家提出了弹性力学理论体系的基本假设，限定了弹性理论的适用范围，使弹性理论在一定的适用范围内成为一门精密科学。以下将逐一分析弹性力学的五个基本假设，分别讨论基本假设的背景和意义。

一、 连续性基本假设

从材料的微观组成来看，所有的材料都是由微粒组成的，如晶体、原子、分子等等，这些微粒之间仍留有较大的孔隙。我们知道，数学上“点”的概念是只占据空间位置，而没有大小的几何元素。如果我们在弹性材料内任选一点，恰好选在了微粒之间的空隙上，这就使所设的应力、应变、位移失去了意义，同样在这一点所建立的方程也毫无意义。

图1 金刚石最近的两个碳原子之间的距离等于晶胞对角线的四分之一

为了调和这种矛盾，弹性力学中的第一个基本假设即为连续性假设：假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙，这样的材料也称之为连续介质，连续介质内所有点（数学意义上的点）都有物质，所有点的力学量都有意义，在整个物体上就可以用数学的连续函数来描述。

需要注意的是，材料内的微粒尺寸以及微粒之间的距离，都比所研究的物体尺寸小得多时，连续性基本假设才是合理的，否则就不能采用这一基本假设。例如，晶体、原子、分子与它们组成的材料相比，其尺寸为微量，这时就可以忽略微粒间的空隙，认为它们是连续的。对于混凝土材料，一般由水泥、粗骨料（碎石或卵石）、细骨料（砂）、外加剂和水搅拌而成，其间存在着大量宏观空隙，如果是一块很小的混凝土，应用连续性假设可能就存在问题，但是对于利用混凝土建造的楼房、大桥、水库大坝等，就可以采用连续性假设进行分析。因此，连续性基本假设中“微粒大小、空隙大小”是相对概念而非一个绝对概念。

二、完全弹性假设

在材料力学低碳钢拉伸试验中，材料变形可以分成弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和颈缩阶段四个阶段，如果我们用一个数学函数来描述它应力-应变关系（作为物理方程），可能很难找到一个连续的精确函数。为了简便起见，弹性力学引入了第二个基本假设：完全弹性假设。

图2 低碳钢拉伸曲线

认为材料在外力下发生的变形只处于完全弹性阶段，不进入屈服阶段或者材料本身为完全弹性材料。也就是说材料在外力作用下发生变形，一旦撤去外力，材料将毫无保留的恢复到原始状态而没有任何剩余变形。更进一步，假定应力和应变之间完全服从胡克定律——应力、应变呈线性关系，比例系数为弹性模量。考虑横向效应，在一个方向上拉伸，该方向伸长，与其垂直的方向上收缩（不考虑负泊松比），广义胡克定律（物理方程）中还包括另外一个弹性常数：泊松比。

三、均匀性假设

假定整个物体是由同一种材料组成的。这是因为，如果物体由不同的材料组成，不同的材料具有不同弹性模量和泊松比，这将给分析带来很大的困难。例如混凝土材料中，砂砾、水泥、外加剂，当它们的弹性模量和泊松比不同时，理论上就需要针对于不同的材料写胡克定律，这将成为一种不可能的任务。这就必须引出弹性力学的第三个基本假设：均匀性假设。

图3 当前非均匀材料的均匀化已成为力学的一个重要分支

摘自：秦庆华、杨庆生《非均匀材料多场耦合行为的宏细观理论》高等教育出版社 2006

均匀性假设主要针对于含有两种或两种以上不同材料组成的材料，认为整个物体由同一种材料组成，其弹性模量和泊松比通过等价分析得出。这样，整个物体内所有部分就具有相同的弹性性质，弹性常数不随位置坐标变化，前面在物体上任选一点进行分析，建立弹性力学基本方程的方法仍然可用。如果把连续性假设中，材料中的空隙视为一种特殊的“材料”，连续性假设本质上也具有了某种均匀化的过程。不过，在实际应用中，连续性假设更多侧重于材料在微观上的空隙，均匀性假设更侧重于材料内宏观组分上的不同。

四、各向同性假设

有些材料在承受载荷后其变形性质是具有方向性的。例如钢筋混凝土（利用均匀化将其视为均匀材料）材料，如果沿着钢筋长度方向加载和垂直于钢筋加载，其破坏特性显然不同，这就是材料特性的方向性。具有这种特性的材料被称为各向异性材料。自然界存在许多各向异性材料，例如木材，由于木材的纹理，导致木材在顺纹理加载和垂直于纹理加载通常表现出不同的力学性能。

图4 在木材不同方向加载（图中为剪切）将表现出不同的力学性能

许多晶体材料也表现为各向异性，这主要是因为沿不同的晶格方向，原子排列的周期性和疏密程度不尽相同，由此导致晶体在不同方向的表现出不同的力学性质，如不同方向上的弹性模量、硬度、断裂抗力、屈服强度等，也包括不同的其它物理、化学性质，如热膨胀系数、导热性、电阻率、电位移矢量、电极化强度、磁化率和折射率等等。

仍然是为了简便，弹性力学中将研究对象限定为各向同性材料，提出了弹性力学的第四个基本假设：各向同性假设。假定物体内任意点的弹性性质在各个方向上都相同，弹性常数不随方向而变。这一假设在实际中也难以真正满足，例如钢材，在微观上它的晶体是具有各向异性特征的，只是因晶体很小，而且材料中晶体随机排列，所以在宏观上钢材表现为近似的各向同性特征。

五、小变形假设

假定物体变形是微小量，即小变形假设，为弹性力学的第五个基本假设。在小变形假设下，物体上每一点的形变位移（不考虑刚体位移）也是微小的。这样，在写几何方程时，由泰勒级数写出的点的位移就可以略去二阶以上的高阶无穷小项，只保留一阶项，将几何方程简化为线性微分方程，使问题大大简化。

小变形还暗含了物体变形量在很小的范围内，从材料特性看，在很小的范围内变形保证了应力-应变关系可近似为线性方程，即广义胡克定律。

对于平衡方程，在小变形假设下，在微元体变形后的尺寸可以由变形前的尺寸替代，因此应力分量在微元体相对面上的变化也是微量，由泰勒级数展开写出的应力分量也可以略去二阶以上的高阶无穷小项，只保留一阶项。

图5 弹性力学基本方程 15个未知量，15个方程

可见，在小变形假设下平衡方程、几何方程变成了线性微分方程，胡克定律为线性代数方程。弹性理论就成了线性理论，大大简化了分析材料变形的难度。

总结与讨论

在上述五个基本假设中，连续性假设和均匀性假设目的是为了解决数学连续性与实际材料不连续或不一致（微观或宏观上）之间的矛盾，完全弹性、各向同性、小变形假设则限定了弹性力学研究的范围，从而能够得到较为简单的弹性理论方程体系。

值得注意的是，任何一个基本假设被放松之后，都会形成另外一门专门力学。例如把连续性基本假设去掉，就形成了非连续介质力学，这是一个非常广阔的领域，如考虑材料空隙、裂纹、损伤等条件的损伤力学、断裂力学，以及由颗粒组成的颗粒力学等；把完全弹性假设放松，有塑性力学、弹塑性力学、粘弹性力学等；把均匀性假设放松形成非均匀介质力学，如复合材料力学、层合板力学等；各向同性假设放松形成的各向异性材料力学，如正交各向异性、横观各向同性等；小变形假设放松后形成几何大变形理论等等。当然，每放松一个基本假设，其理论体系和求解过程的复杂程度都在增加。

可见，弹性理论是在面对广袤的工程问题、自然问题时，通过基本假设所形成的一门简化理论，它能解决的问题受基本假设限制。但是，弹性力学用严格的数学理论对物体变形进行严格的证明和精确的描述，将变形体力学变为精密科学。在基本假设下，弹性理论变得相对简单，担当了连续介质力学的入门课程。人们对变形体力学的认识也是这样，先在弹性理论中站稳脚跟，然后逐渐放松假设条件，逐步扩大视野，最终使得人在面对工程和自然时，变得越来越自由。

参考资料：
徐芝纶《弹性力学》(第5版). 高等教育出版社. 2016.3

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。