说说关于静力学公理

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欧几里得（Euclid，约前325-前270）在《几何原本》中构建了一种公理化体系，为人们提供了一种基于定义和少数几个公理/公设构建数学大厦的逻辑模式。在《几何原本》中，欧几里得选择了5个公理和5个公设，以此为基石，推导出13卷467个命题，发展至今成为人类知识文明的杰出代表。爱因斯坦高度称赞这种公理化体系说：“在逻辑推理上的这种令人惊叹的胜利，使人们为人类未来的成就获得了必要的信心。”

公理化体系为科学体系提供了一种从定义、若干公理、公设出发，无穷尽的扩充人类知识领域的范式，说明只要发现了某些领域的基本公理、公设，就可以获得该领域全部已知和未知的知识，这当然会极大的增强了人们认识自然的信心。自欧几里得之后，公理化体系就成为了科学体系发展的基本模式。作为力学科学重要基础的静力学，人们也在试图构建这样一种静力学公理体系，并由此获得有关静力学体系的全部真理。本文尝试介绍静力学的公理化体系，先介绍静力学中的几个基本概念，给出静力学公理，最后对静力学公理体系及其学习要点进行展望。

首先，质点和刚体是静力学研究的两种基本模型。所谓质点，即只考虑位置、不考虑大小，但有质量的点；所谓刚体，即不能发生任何变形的物体，严格的定义为：刚体内任意两点之间的距离始终保持不变。将物体简化为刚体处理可以不考虑由于物体变形引起的力的作用效果的改变。

其次，力学是以“力”为研究对象的科学。在牛顿力学中已经知道：力是改变物体运动状态的原因。这里的运动状态可分为：静止、匀速直线运动和变速运动。我们知道速度是有大小和方向的向量，那么静止和匀速直线运动因速度未发生任何变化被认为运动状态没有发生变化，也就没有外力作用，将这类状态称为平衡状态；变速运动可以是加速运动、减速运动、还可以是曲线运动，即便是匀速圆周运动，由于其速度方向一直处于改变中（速度沿切线方向），也属于变速运动，这类一直处于变化之中的运动即被改变了运动状态，说明存在额外的力的作用，物体处于非平衡状态。

力作为改变物体运动状态的原因，其作用效果由三要素决定，即大小、方向、作用点。只有确定了力的三要素，才能确定力对物体运动状态的改变效果。

再次，当一个物体上施加有多个力时，我们称其为力系（一系列的力）。当物体上所受的力系使物体处于平衡状态时，称该力系为平衡力系，其中的任何一个力都成为其余所有力的平衡力；当物体上所受的力系不能使物体处于平衡状态时（非平衡状态），则称该力系为非平衡力系，该物体将在合力的作用下产生加速度，将发生运动状态的改变。

再其次，如果作用在某一刚体上的力系可用另一个力系来代换，而不改变刚体的运动状态，那么这两个力系互相称为等效力系。若两个力系均等于第三个力系等效，这两个力系也为等效力系。

最后，如果某一个力系与一个力等效，则称这个力为该力系的合力。

基于上述概念，力学家给出了五个静力学公理，并以此来构建静力学大厦。五个静力学公理分别为：

公理一：力的平行四边形法则。作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。

图1 力的平行四边形法则与三角形法则

力的平行四边形法则主要由达芬奇 (Leonardo da Vinci, 1452-1519)、斯蒂文 (SimonStevin, 1548-1620) 等人发现并完成，成为力学分析的基础。用作图法求两个力的合力时，还可以由任一点起，依次画出两个力矢量使它们首尾相连，然后，画出从第一个矢量起点到第二个矢量终点的矢量，这个矢量即为合力矢。这种求合力的方法称为力的三角形法则。该方法只能确定力的大小与方向，但不能确定力的作用点。如果将起点选择为两个力的交点，则交点为合力的作用点。

图2 平行四边形的演示装置

力的平行四边形法则的验证十分简单，如图2(a)所示平行四边形法则的演示仪，通过悬挂不同的砝码，可以产生不同的三角形ABC，C处的砝码与A、B处的砝码满足平行四边形法则。相应地，砝码也可以替换为弹簧秤（图2b）来实现。

公理二：作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力的大小相等，方向相反，且作用线在同一直线上。这也被称为二力平衡条件。

图3 二力平衡示意图

例如，将拔河视为双方是争抢“拉绳”，当双方施加的力等大、反向、共线时，“拉绳”将保持平衡状态。等大、反向、共线三个条件任意一个被破坏，“拉绳”将不能保持原有的平衡状态。

公理三：在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原有力系对刚体的作用效果。该公理被称为加减平衡力系原理。

图4 加减平衡力系原理示意图

如果拔河中一边增加一人，且这两个的拉力为平衡力系，则不改变“拉绳”的平衡状态，即没有改变原有力系对“拉绳”的作用。当然，双方如果各减去一个大小相等的力，仍可以保持原有状态。生活中存在许多例子可以说明公理二和公理三，是显而易见的，是人们较早认识静力学的两个知识。

依据上述公理，可以导出两个非常有用的推论：

推论1：力的可传递性。

作用于刚体上某点的力，可以沿其作用线移动到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用效果。

图5 力的可传递性证明

依据力的可传递性，对于刚体来说，力的三要素中，力的作用点可用作用线来替代，即作用于刚体上力的三要素为：力的大小、方向和作用线。因此，作用于刚体上的力矢量也被称为滑移矢量。　

推论2：三力平衡汇交定理

作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一个平面内，且第三个力的作用线也通过汇交点。

如图6所示靠墙倚立的AB杆保持平衡，设A处墙体对杆的支撑力为F，AB杆重心位于中点，受重力W作用。延长F和W的作用线相较于O点，可知其合力如图FR1所示。则地面B处支撑力FN与摩擦力f 的合力FR2必指向O点。该定理为我们确定某些未知力的方向提供了依据。

图6 三力平衡汇交距离

公理四：作用力与反作用力定律，两个物体间的相互作用力总是大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个物体上。

图7 溜冰场上的作用力与反作用力

溜冰场上，当一个人推另一个人时，两人都会改变运动状态，将其中一人的受力视为作用力，另一人则受反作用力。

该公理来源于牛顿第三定律，注意到该定理也要求“等大、反向、共线”和二力平衡条件相同。但要特别强调，二力平衡是针对于同一个物体而言的，作用力与反作用力是针对于两个相互作用的物体而言的，也就是说它们的研究对象不同。

公理五：刚化原理。变形体在某一力系作用下处于平衡，若将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。

图8 斜拉桥

斜拉桥索缆由高强度钢丝组成，是变形体，但在张拉状态下，对其进行受力分析则可将其视为刚体，而不影响分析结果。

该公理表明，处于平衡状态的变形体，完全可以视为刚体来进行分析和研究，这为分析变形体的平衡提供了依据。前面我们在介绍公理二、公理三中以拔河为例，其中“拉绳”本身是变形体，但其在拉紧后根据刚化原理就可以将其视为刚体来分析。

需要特别注意的是，刚体平衡是变形体平衡的必要但不充分条件，即将变形体视为刚体，若变形体平衡其必然对应刚体平衡，但对应刚体平衡，变形体未必就平衡。例如一块面团，设其表面受平衡力系，若将其视为刚体分析，刚体平衡但面团不平衡，因为面团为变形体，即便在平衡力系下，面团也将发生变形而不处于平衡状态。

上述五个公理就是静力学五公理，有了这五个公理，理论上所有有关静力学的问题都可以解决。因此，在静力学学习中要牢牢记住静力学的五个公理。

此外，针对于不同的问题，静力学还有一系列的定义（或概念），它们就像静力学中的“普通话”，是静力学交流的统一语言，如果没有这些定义（或概念），就会出现各说各话、无法交流的现象。经过定义的“术语”减少交流上的不便，提高静力学的交流效率。因此，定义（或概念）也是静力学学习要点（任何课程都具有这一属性）。

再者，在力学学习中要掌握三种语言，即自然语言（我们平常说的话）、图形语言（力学一般需要画受力图）、数学语言（力学要用数学进行定量分析），三种语言在力学中具有相互启迪、互为支撑的作用。对于力学概念、力学原理，只要牢牢记住三种语言的描述方式，针对工程问题能够利用三种语言相互解释和翻译，学好力学就会变成一件有趣和快乐的事。

参考文献：
单祖辉, 谢传锋. 工程力学（静力学与材料力学）（第2版）. 高等教育出版社. 2021.3

牛学仁, 戴保东. 理论力学（第2版）. 国防工业出版社. 2013.9

吕茂烈等[译]. 伏龙科夫[著]. 理论力学教程. 高等教育出版社. 1958.2

马宏伟, 张伟伟. 工程力学十讲. 高等教育出版社. 2021.2

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。