刚体动力学中的动量矩坐标系

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动量矩坐标系

Serret-Andoyer 变量鲜为人知，但所涉及的动量矩坐标系作为一种特殊的数学工具，在动力学分析中却有着应用价值。如1938年俄罗斯力学家布尔加科夫 (Bulgakov,B.V.) 的博士论文就利用动量矩坐标系分析陀螺仪的运动。国内涉及动量矩坐标系的文献除刚体以外，还扩大到陀螺体、多体系统，乃至充液刚体等对象，有较广泛的应用范围。

动量矩坐标系的特点在于，无力矩作用时与惯性坐标系无异。但利用坐标轴与动量矩矢量L 共线的特点，可直接写出用欧拉角表示的一阶微分方程，便于分析处理。1849年，雅可比 (Jacobi,C.G.J.) 曾从欧拉方程解出椭圆函数形式的解析解。若利用动量矩坐标系，可更简洁获得同样的解析结果[1。

一般情况下，可将刚体的运动分解为相对动量矩坐标系的运动和动量矩坐标系在惯性坐标系内运动的叠加。若作用的力矩较微弱，可采用逐次近似方法，将无力矩状态作为零次近似，导出欧拉角的变化规律计算动量矩坐标系的受扰运动，且作为一次近似，对刚体的运动进行修正。若两类运动的时间尺度相差悬殊，刚体快速旋转而动量矩矢量缓慢进动，则分析前者运动时可近似忽略后者的运动，分析后者运动时可近似前者运动的平均效应代替。因此，适合于对高速旋转而力矩微弱的刚体运动作近似解析分析[2,3。

以下就无力矩刚体定点运动和微弱力矩作用的刚体定点运动两种情形，叙述动量矩坐标系在动力学分析中的特殊作用。

欧拉情形的刚体定点运动

设无力矩作用的刚体绕固定点O 运动，对O 点的动量矩为L。以O 为原点建立动量矩坐标系 (O-XYZ)，其中，OZ 轴与守恒的动量矩矢量L 重合。刚体的主轴坐标系 (O-xyz) 相对 (O-XYZ) 的姿态以欧拉角ψ、θ、φ 确定（图1）。刚体的瞬时角速度ω 对 (O-xyz) 各轴的投影为

图1 刚体相对动量矩坐标系的姿态

设刚体相对 (O-xyz) 各轴的主惯性矩为A、B、C，将动量矩矢量L 直接向 (O-xyz) 各轴投影，分别等于Ap、Bq、Cr。导出

令以上两组公式各项相等，得到ψ、θ、φ 的一阶微分方程组：

其中，ν=L/C，σ=(A-C) /A，ρ=(B-C)/B。作为刚体运动的数学模型，一阶微分方程组比欧拉方程简单得多，实际上是以动量矩守恒的首次积分代替了动力学方程。令一阶微分方程组中第1式与式第3式相除，消去时间变量t，得到仅含θ 和φ 的自治的一阶微分方程：

从上式中积分得到θ(φ)，代入一阶微分方程组中第3式和上式消去θ，即导出椭圆函数形式的解析积分，与雅可比从欧拉方程解出的结果相同。

上式也可用于定性分析。利用相平面的奇点理论，在 (θ, φ) 平面内分析刚体绕主轴转动的稳定性。令上式的分子和分母同时为零，共确定6个奇点Sj (j=1,2,⸱ ⸱ ⸱,6)，分别对应于刚体绕3个惯性主轴正负方向的稳态转动。利用对奇点类型的判断，确定刚体绕主轴转动的稳定性条件。

粘性介质中刚体定点运动

对于有微弱力矩作用情形，必须考虑动量矩坐标系在惯性空间中的运动。设 (O-ξηζ) 是以O 为原点的惯性坐标系。利用卡尔丹角α、β 确定动量矩矢量L，以及以L 为坐标轴的动量矩坐标系 (O-XYZ) 在 (O-ξηζ) 中的姿态（图2）。

图2 动量矩坐标系相对惯性坐标系的姿态

设M 为刚体上作用的对O 点的力矩，依据动量矩定理dL/dt=M，列出

考虑 (O-XYZ) 坐标系牵连转动对刚体角速度的影响，在下式中

应增添动量矩L 进动产生的角速度增量，改为

为简化表达，其中与 和 相乘的括弧内α、β、ψ、θ、φ 的三角函数组合以省略号表示。令动量矩矢量L 在 (O-xyz) 各轴上的投影分别与Ap、Bq、Cr 相等，且利用下式消去和

导出

其与

组成以L、α、β、ψ、θ、φ 等6个状态变量的一阶微分方程组，作为欧拉方程的替代。

以刚体在粘性介质中的运动为例，设阻尼力矩M 与角速度ω 之间满足线性关系：

将下式代入到上式中，

变换为对 (O-XYZ) 各轴的投影，再代入式

设刚体的自旋角φ 和进动角ψ 均快速变化。令上式在φ 和ψ 的每个变化周期内平均化，得到L 和和的平均值：

表明阻尼力矩的平均效应使刚体的动量矩L 的模减小，而平均方向仍保持与Oζ 轴一致。

参考文献：
[1] 刘延柱. 欧拉情形刚体定点运动新解. 上海力学, 1981, 2 (3) : 52-55
[2] 刘延柱. 刚体的拟Euler-Poinsot运动. 固体力学学报, 9, 1988 ,4: 294-302
[3] Liu Yanzhu. The development of the dynamics of rigid body with state variables. Acta Mechanica Solida Sinica, 1990, 3 (3) : 307-314

来源：刘延柱科学网博客，作者：刘延柱。