材料力学笔记之——欧拉公式适用范围、临界应力总图

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欧拉公式的适用范围

欧拉公式的推导方法是，在服从胡克定律的前提下，得到梁的曲率方程，再由曲率方程推导出挠曲线近似微分方程，挠曲线微分方程积分并根据边界条件确定积分常数，从而确定压杆的临界压力。综上所述，欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的，杆内的应力小于比例极限。

压杆在临界压力作用下，其在直线平衡位置时横截面上的应力称为临界应力。

其中

式中，λ 称为柔度（长细比），i 为截面的惯性半径。

柔度又称为压杆的长细比，反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界力的影响。

由欧拉公式的推导过程可知，欧拉公式的适用范围，临界应力小于或等于材料的比例极限

可得

这类杆件称为大柔度杆，或细长杆。

经验公式、临界应力总图

当杆件的柔度小于λp 时，临界应力大于材料的比例极限，欧拉公式不再适用。对于这类杆件工程中一般使用以试验为依据的经验公式：直线公式、抛物线公式。

1. 直线公式

这类压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限，故属于弹塑性稳定问题，直线公式，即临界应力与柔度成线性关系，且临界应力随柔度增大而减小

式中，a、b 为与材料性能有关的常数。

当应力增大到屈服极限时，材料发生屈服失效，这时不再是稳定问题，而是强度问题，其临界应力最大值为

可得直线公式适用的柔度下限值

即直线公式适用的柔度范围

这类杆件称为中柔度杆件。

当杆件的柔度小于λs 时，称为小柔度杆或短粗杆。这类压杆发生强度失效，而不是稳定失效，临界应力

临界应力随柔度变化的关系，可画出曲线如下图所示，称为压杆的临界应力总图。

临界应力总图（直线公式）

2. 抛物线公式

对于中柔度杆和小柔度杆，不同的工程设计中，也可以采用抛物线公式计算临界应力

式中，a1 和b1 也是与材料有关的常数。

临界应力总图（抛物线公式）

折减弹性模量理论

工程中大部分受压杆件不是大柔度杆件，可以采用折减弹性模量理论分析这类压杆的临界压力。

材料在压缩时的应力-应变曲线如图所示，当应力超过比例极限时，加载时应力应变曲线为非线性，把这部分曲线的切线斜率作为该应力水平的弹性模量，称为切线弹性模量。卸载时，由卸载规律，卸载曲线的斜率与弹性段相同，即与加载时弹性段的弹性模量相同。

下面以矩形截面为例。对于λ<λp 的杆件，当杆件处于直线平衡状态时，横截面上应力均匀分布，在临界压力作用下，临界应力σcr>σp，当杆件从直线平衡状态过渡到微弯平衡状态时，截面上产生了弯曲应力，由于中性轴两侧分别产生拉应力和压应力，弯曲压应力一侧使原有压应力增大，弯曲拉应力一侧使原有的压应力减小开始卸载，由于加载和卸载的弹性模量不同，且Eσ<E，弯曲应力分布如图所示。

拉应力：

压应力：

弯曲应力沿轴向之和为零

可解得

截面上的弯矩

令

式中，Er 称为折减弹性模量。

曲率为

仿照欧拉公式的形式，λ<λp 的两端铰支压杆临界压力的表达式可以写成

不同约束条件临界应力的表达式

按上式可得临界应力与柔度的关系曲线

临界应力总图（折减弹性模量）

不同的截面具有不同的折减弹性模量的表达式，临界应力总图中的曲线也随之发生变化。当应力增大到屈服极限时，材料发生强度破坏，极限应力取屈服极限。

压杆的稳定计算

1. 安全系数法

为了保证压杆不失稳，压杆的实际压力应小于临界压力

考虑到理论计算的理想化，实际杆件材料不均匀、初弯曲、偏心受压、残余应力等因素，其临界压力比理论值要小，为了保证压杆的安全性，因此压杆的稳定条件为

式中，nst 称为稳定安全系数，上式可以写成

2. 稳定系数法

从临界应力总图可以看出，临界应力随柔度的增大而减小，在压杆设计中所用的许用应力也随柔度的增大而减小。

压杆的稳定条件用应力表示为

式中，[σst] 为稳定许用应力

临界应力比屈服极限低，通常稳定安全系数比强度安全系数大，则稳定许用应力总是比强度许用应力小

把稳定许用应力用强度许用应力表示

其中，φ<1，称为稳定因数，随柔度的变化而变化

则压杆的稳定条件为

在土建工程中，一般按稳定系数法进行稳定计算。我国钢结构设计规范根据国内常用构件的截面形状、尺寸、加工条件及残余应力分布和大小，以及1/1000的初弯曲等因素，把承载能力相近的截面归为a、b、c、d四类，根据不同材料的屈服极限分布给出四类截面在不同柔度下的稳定因数值。其中，a类的残余应力影响较小，稳定性较好，c类的残余应力影响较大，基本上多数情况可取作b类。

对于木制压杆的稳定因数值，我国木结构设计规范按照树种的强度等级分别给出两组计算公式：

  · 树种强度等级为TC17（柏木、东北落叶松等）、TC15（红衫、云杉等）、TB20（栎木、桐木等），代号后的数字为树种的弯曲强度，单位是MPa。

  · 树种强度等级为TC13（红松、马尾松等）、TC11（西北云杉、冷杉等）、TB17（水曲柳等）、TB15（栲木、桦木等）

在压杆计算中，有时会遇到压杆局部有截面被削弱的情况，如杆上有开孔、切糟等。由于压杆的临界载荷是从研究整个压杆的弯曲变形来决定的，局部截面的削弱对整体变形影响较小，故稳定计算中仍用原有的截面几何量。但强度计算是根据危险点的应力进行的，故必须对削弱了的截面进行强度校核。

来源：材料力学之教与学微信公众号（ID：gh_5346e0e799fa），作者：关学锋。