常用应力幅值/范围概率密度函数模型

Reginald

时域上的应力信号可以很容易的通过统计学方法得到其应力幅值/应力范围直方图和峰值直方图，进而得到应力幅值/应力范围概率密度函数和峰值概率密度函数，对于大多数工程问题，一般假设随机振动的应力幅值/应力范围概率密度函数为高斯分布，而对于窄带振动的峰值概率密度函数则近似等效为Rayleigh分布。

采用频域法时，应力谱密度函数并不能直接反应应力幅值/范围的加载历程，因此还需要把它进一步转化为应力幅值/范围概率密度函数。

频域法中，经常用来计算应力幅值/范围概率密度函数的方法有三种：窄带法，Dirlik法和Steinberg法。下面将简单介绍这三种方法：

窄带法：

J.S. Bendat为所谓的窄带法奠定了理论基础，这一方法应力幅值/范围概率密度函数仅采用了M0。由于这一方法仅仅适用于特殊的情况（窄带随机），因此在实际应用中存在一定的局限性。

窄带法是第一个在频域利用应力谱密度函数来计算疲劳伤害的方法，它假定应力峰值和应力幅值的概率密度函数相同，因此窄带法中的应力范围概率密度函数是利用峰值的Rayleigh概率密度函数得到的，如下图：

窄带法中的单元响应应力的应力幅值概率密度函数仅仅与有关M0，其表达式为：

当S为应力范围时：

所以单元响应应力的应力范围的概率密度函数为：

该方法假定正的峰值与紧随其后的等量谷值构成一个应力循环（即使它们并不能形成应力循环），这样信号中的应力幅值就和应力峰值具有相同的分布特征，但是这种假定忽略了应力波形大于零的谷值和小于零的波峰，因此该方法会过高估计宽带随机载荷作用下的大应力范围出现的概率，计算出来的疲劳寿命值过于保守，下面将用一个简单的例子解释窄带法的缺陷。

下图是窄带和宽带的时域信号以及对应的PSD：

当利用窄带法来处理宽带信号时，会出现下图的现象：大于零的谷值和小于零的波峰会被忽略，而大于零的波峰会通过在其后添加一个等量的谷值形成一个应力循环，同时小于零的谷值会通过在其后添加一个等量的峰值形成一个应力循环，也就是下图红色的信号会被转化成绿色的信号。

通过以上解释和上图可以发现，采用窄带法处理的绿色信号出现高应力循环的概率将远远大于原信号，因此更保守。

Dirlik法：

所有的频域法疲劳分析都假设单元疲劳寿命是由其应力范围的概率密度函数决定的，考虑到窄带法的缺点，一个更好的方法就是直接从应力范围概率密度函数计算，而不使用窄带法（窄带法中的应力范围概率密度函数是利用峰值的Rayleigh概率密度函数得到）。

Dirlik采用蒙特卡罗法，对70中不同形状的功率密度谱函数进行了计算机模拟，得到其应力-时间历程，再对其进行雨流循环计数，得出了雨流循环幅值的分布规律，最后归纳为其应力幅值概率密度函数可以由一个指数分布和两个瑞利分布的组合来描述。其表达是为:

其中：

虽然这个方法比其他方法更复杂，但是该应力范围概率密度函数也仅仅与M0， M1，M2，M4有关。在工程应用中非常方便，而且准确度很高，目前被广泛应用。但是该公式是一个基于经验的解析表达式，有一定的缺陷，理论支撑不足，没有考虑平均应力的影响，因此很难应用到非高斯分布。

Steinberg法：

该方法又称为Three Band Method，也就是“三区间法”。该方法假设单元的响应应力的应力幅值的概率密度函数遵循高斯分布，因此其概率密度函数为：

当S为应力范围时：

所以单元响应应力的应力范围的概率密度函数为：

在平稳随机振动中，应力范围瞬时值S在±1σ范围的概率为68.26%；在1σ~2σ和-2σ~-1σ范围内的概率为27.18%；在2σ~3σ和-3σ~-2σ范围内的概率为4.30%；应力范围超过3σ的情况视为小概率事件，假定不发生并且也不产生结构损伤。

该方法将整个随机响应应力的应力范围分布离散为3个区间，每个分布区间对应着一个固定的应力范围水平，利用高斯分布的概率密度函数可对各应力水平的出现概率进行简化近似评估，这为工程应用提供了一种简便的评估手段。

应力幅值概率密度函数是计算随机振动伤害值的重要参数。