不过,1742年偏微分方程还没有被发现,丹尼尔的叠加只能算是他想象中的叠加,并没有进行数学上的严格证明。1749年,Jean-Baptiste le Rond d'Alembert(达朗贝尔,1717-1783)推导了弦振动的微分方程,围绕弦振动微分方程的解,d'Alembert,Leonhard Euler(欧拉,1707-1783)和Joseph-Louis Lagrange(拉格朗日,1736-1813)等人进行了深入的研究。
Euler 和Lagrange 并不认可丹尼尔有关振动可由简单模态叠加的观点,Euler 认为一条曲线可以由无数多个正弦函数组成是令人怀疑的,认为“无限看起来会毁坏构图的本质”(大科学家有时候也会想当然)。这一问题在科学家之间展开了持久的争论,直到1822年Joseph Fourier (1768-1830) 发表The Analytic Theory of heat(热的分析理论)完善了傅里叶级数,人们才逐渐接受了叠加原理。
关于弹性板的叠加原理,德国著名物理学家和音乐家、声学之父Ernst Florens Friedrich Chladni(克拉尼,1753-1827)发表了Entdeckungenüber die Theorie des Klanges(声音理论中的发现),发明了一种用沙子展示弹性板的固有模态方法(1787年),为弹性板的叠加原理奠定了基础。克拉尼用琴弓去拉一块覆盖沙子的金属板,当板发生弯曲直至共振时,沙子在振动作用下向表面静止的节点线集中,并最终勾勒出节点线。这些线条形成的图案就是现在所说的克拉尼图形。
图2 克拉尼振动模态的演示实验
惠斯通 (Charles Wheatstone, 1802-1875) 在1833年发表的On the Figures obtained by strewing sand onvibrating surfaces, commonly called acoustic figures(声音的图像,用沙子来展示振动表面的图形)中将弹性理论中的叠加原理归功于韦伯兄弟,威廉·韦伯 (Wilhelm Eduard Weber, 1804-1891),以研究电磁学而著名,哥哥恩斯特·海因里希·韦伯 (Ernst Heinrich Weber, 1795-1878),德国著名物理学家和生理学家,并于1825年带领弟弟在莱比锡出版了《Wellenlehre, auf Experimente gegründet》(基于实验的波的理论)一书(生理学家的哥哥带着电磁学家的弟弟研究弹性振动理论,给出了叠加原理!?),在这本书中提出了弹性板振动的叠加原理。
参考文献
[1] S.P. Timoshenko. Theory of elasticity.
[2] 徐芝纶. 《弹性力学》(第5版). 高等教育出版社
[3] http://www.bcamath.org/documento ... oryApplications.pdf
[4] Isaac Todhunter. A History of the Theory ofElasticity and of the Strength of Materials. P410-411