振动基本理论是什么

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前人把复杂的过程隐藏了，只展示出重要的结果。一方面，确实节约了我们的精力；另一方面，我们确实也会因此错过很多。就像读一篇翻译文章，总是比不上读原版。工科教材中，简化了很多数学过程，看似方便学习，可当你好奇心作怪的时候，就难免感到迷雾重重了，到头来，还是要把数学深入到一定份上，你才能感到一点儿安心，一点儿自由。

有人说，振动力学难！天下事有难易乎？根据笔者多年的被教育经验，任何一门课，如果你觉得难，那一定是老师的问题。当然，笔者不一定是指这门课的老师，和前任也可能有关系。比如，你觉得振动力学难，可能是振动课老师不行，也可能是前任微分方程课的老师不行。

振动微分方程：

这不就是一个二阶线性常系数非齐次常微分方程（以下简称非齐次方程）吗？有什么难？能算难？真正难的，你可能还没见过！

讲清楚微分方程问题，也用不了几个概念：通解，全解，特解，定解，所有解，自由项。

如果非其次方程的自由项f (x) 为0，则称为齐次方程。齐次方程的解叫做齐次方程的通解（全解）；齐次方程+特解条件（定解条件）的解叫做特解（定解），特解条件有两类：边界条件（边值问题）和初始条件（初值问题）。

求解非其次方程特解的待定系数法：根据自由项的特点，假设方程的特解，再带入到方程，确定特解的待定系数（没提到特解条件）。

注意，上文中齐次方程特解的获得和非齐次方程特解的获得，是不一样的。非齐次方程的通解，由对应齐次方程的通解和非其次方程的特解组成；非其次方程+特解条件的解，由对应齐次方程的特解和非其次方程的特解组成。

所有解包含通解。比如：y=sin(x+c) 是y '=√1-y 2的通解，但y=±1也是微分方程的解。

综上，在振动微分方程中：

  · 非齐次方程的特解和初始条件无关，对应齐次方程的特解才和初始条件有关；

  · 非齐次方程+初始条件的解，一般只考虑非其次方程的特解，称为稳态振动。因为在阻尼系统中，对应齐次方程的特解是衰减振动，随着时间推移，趋于零，称为瞬态振动。

  · 振动理论中，如果是自由振动，那就是齐次方程的初值问题（初始条件重要）；如果是受迫振动，那就是非齐次方程的特解问题（初始条件不重要）。单自由度振动系统的核心就是这两句话，如果你扎实掌握了，后面的多自由度问题，无非就是求解常微分方程组，也就是常微分方程的线性代数。如果线性代数也学得不错，那多自由度问题也很简单。说到线性代数，笔者插一句，线性代数，无非也就是一种运算规则，和加减乘除初等代数本质上没两样，只是加减乘除是一个数一个数来处理，线性代数是一组数一组数来处理，所以也叫做代数，这样说来，线性代数毫无神秘感可言，何难之有。

来源：诸子韩非子微信公众号（ID：goldenappletech）