基础知识分享：布朗运动的功率谱密度

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设x(t) 为布朗粒子在t 时刻的位移，根据“布朗运动瞬时速度为零均值不相关白噪声”的布朗运动定律，有

式中，n(t) 为定义在 [-∞，+∞] 上的零均值不相关白噪声函数。

白噪声n(t) 的功率谱密度 (Power Spectral Density)为

式中，ω 为角频率，N0 为正实常数，N0 的物理意义代表白噪声信号在单位电阻上产生的平均功率。

根据傅里叶变换的微分特性，立即可得布朗运动位移x(t) 的功率谱密度

式中，ω 为角频率。

因此，布朗运动位移x(t) 的功率谱密度与频率的平方成反比，因其能量主要集中在低频段，在工程技术领域被称为红噪声、布朗噪声或1/f 2噪声。图1为布朗噪声和白噪声的时域波形和功率谱密度。

图1 布朗运动时域波形及功率谱密度

从图1可以看出，布朗运动位移x(t ) 的能量主要集中在低频段，因此布朗运动的位移存在很大的惯性或相关性，在一定时间和条件下会保持原来的运动趋势和状态，与布朗运动的自相关函数得出的结论完全一致。

频域是描述事物周期波动特性时用到的一种坐标系。使用傅立叶变换 (Fourier Transformation)，任何随时间变化的随机运动，均可被分解成为不同频率的谐波分量，而每个谐波分量又可用确定性的正弦或余弦函数表示（图2）。

图2 随机运动频域分解

随机现象虽然在时域无法用确定性的数学解析式来描述，但是在频域却可用确定性的数学解析式表示。例如，布朗运动的瞬时速度功率谱密度和位移功率谱密度在频域的数量关系均为确定性的解析表达式。

来源：高宏科学网博客，作者：高宏。