[转帖]多重网格法

AaronSpark

多重网格方法通过在疏密不同的网格层上进行迭代,以平滑不同频率的误差分量.具有收敛速度快,精度高等优点.<br><br>多重网格法基本原理<br><br>微分方程的误差分量可以分为两大类，一类是频率变化较缓慢的低频分量；另一类是频率高，摆动快的高频分量。一般的迭代方法可以迅速地将摆动误差衰减，但对那些低频分量，迭代法的效果不是很显著。高频分量和低频分量是相对的，与网格尺度有关，在细网格上被视为低频的分量，在粗网格上可能为高频分量。<br><br>多重网格方法作为一种快速计算方法，迭代求解由偏微分方程组离散以后组成的代数方程组，其基本原理在于一定的网格最容易消除波长与网格步长相对应的误差分量。该方法采用不同尺度的网格，不同疏密的网格消除不同波长的误差分量，首先在细网格上采用迭代法，当收敛速度变缓慢时暗示误差已经光滑，则转移到较粗的网格上消除与该层网格上相对应的较易消除的那些误差分量，这样逐层进行下去直到消除各种误差分量，再逐层返回到细网格上。<br><br>目前两层网格方法从理论上已证明是收敛的，并且其收敛速度与网格尺度无关[哈克布思，1988]。 多重网格法是迭代法与粗网格修正的组合，经过证明迭代法可迅速地将那些高频分量去掉，粗网格修正则可以帮助消除那些光滑了的低频分量，而对那些高频分量基本不起作用。<br><br>在多重网格计算中，需要一些媒介把细网格上的信息传递到粗网格上去，同时还需要一些媒介把粗网格上的信息传递到细网格上去。限制算子Iih(i-1)h是把细网格i-1层上的残余限制到粗网格i层上的算子，最简单的算子是平凡单射，另外还有特殊加权限制；插值算子Iih(i-1)h是把粗网格i层上的结果插值到细网格i-1层上的算子，一般采用线性插值或完全加权限制算子。<br>

[此贴子已经被作者于2005-8-14 20:12:40编辑过]

AaronSpark

<TABLE  height=425 cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%">

<TR>
<TD vAlign=top width=32></TD>
<TD  vAlign=top>需要说明的是在多重网格迭代方法中，粗网格修正之前，细网格必须进行光滑迭代，以消除高频误差，使粗网格修正最有效地发挥其作用；在粗网格修正之后，不可避免的引入高频误差，所以也必须进行光滑迭代，不过高频误差能很快的通过光滑迭代消除。<BR><BR>多重网格迭代的收敛特性<BR>多重网格方法收敛的速度与网格的疏密无关,且多重网格方法收敛的速度与网格的尺度无关，仅与网格结点数有关。<BR><BR>多重网格法的基本思想<BR>研究表明,迭代法的收敛速率与计算的网格距有关,在一个均匀的,各向同性的固定网格上,应用带有标准(点有限差分星形松弛方案,每次迭代能使误差的高频分量减小到原来的),然而其低频分量则减弱得非常缓慢.事实上,任何在单层网格中进行的迭代法,除了开头几次迭代之外,其收敛速度都是很慢的,而且随着迭代次数的增加会越来越慢.我们可以将差分方程的精确解与迭代几次后得到的近似解之间的差用傅立叶级数来表示,也就是说误差可分解为许多具有不同"波长"的分量.在单层网格迭代法中,迭代过程能有效地削减"波长"与网格距同一量级的那一部分误差分量,对于频率更低即"波长"更长的那些分量,由于每一步松弛迭代只涉及到计算点临近几点的数值,迭代格距相对此误差分量的"波长"来说又过小,因而不能有效地削减这一部分误差分量.其结果是在削减了"波长"与网格间距同量级的误差分量之后,收敛速度就变得越来越慢.如果在求解过程中,用一系列逐步加密或减疏的网格去离散求解区域,在不同疏密的网格层上用迭代<BR>法求解,以平滑不同频率的误差分量,然后通过网格层间的适当联系将在所有各重网格上消除误差分量.<BR><BR>关于多重网格的书籍.<BR>刘超群.多重网格法及其在计算流体力学中的应用。清华大学出版社，1995.<BR>哈克布思.W. 多重网格方法。科学出版社，1988.<BR>若是有兴趣的话,可以看一下.<BR></TD></TR></TABLE>

AaronSpark

多重网格法Multi-grid method的依据<BR>影响收敛速度的关键因素：边界信息的传递<BR>节点数目增加，收敛速度降低<BR>节点数目增加，边界到内部的相对路径增加，层次增多<BR>网格加密不利于误差矢量长波分量的衰减<BR>方案:<BR>在粗网格上求解：加速边界相息的传递<BR>在密网格上求解：得到满足精度要求的解<BR><BR>多重网格实际操作时：<BR>先由密到疏，再由疏到密<BR>细网格：衰减误差的短波分量<BR>粗网格：衰减误差的长波分量<BR>迭代：控制迭代次数，监视迭代误差<BR>尽可能采用直接法求解<BR>最细层次网格上的迭代：控制迭代精度，监视迭代次数<BR><BR>在精度要求不是特别高时，可以明显加快收敛过程<BR>如果精度要求非常高，效果不明显<BR>

xifeng

太有帮助了，谢谢了 楼主 。如果还有这方面的文章请多贴几个哦，直接给我发到我的信箱里面也可以啊，万分感谢！ E-mail:qiaozl_186@sina.com.cn