[讨论] 有限元方程的导出

FSI

假设对系统建模得到偏微分方程或者偏微分方程组，通过什么样的方式能够导出一个有限元形式的离散方程呢?或者哪一本书上有详细的资料解释这个过程呢?

我想，只要系统的有限元离散可以得到，那么进行求解就水到渠成了(只要使用一些商业软件的二次开发功能，建立一些自定义的单元，提供单元的特性，利用软件内稳定和多样的求解器进行求解)。


　　

[此贴子已经被作者于2005-9-4 19:38:55编辑过]

yejet

有限元法是利用变分原理把满足一定边值条件的微分方程等价为泛函求极值问题，导出有限元方程组。它是一种结构上的近似，其基本步骤可归纳如下：

(1)简化求解物理模型，导出求解的微分方程。

(2)根据微分议程及边界条件，求出对应定解问题的泛函及其等价的变分问题。

(3)对求解区域进行剖分，确定相应的插值函数。

(4)对多元函数的泛函求极值，导出有限元方程组。

(5)用追赶法或其他有效的方法求解有限元方程组，得到节点上的位函数。

FSI

(2)根据微分议程及边界条件，求出对应定解问题的泛函及其等价的变分问题。

就是这一条学得不太明白，不会推导。而且有很多问题没有办法利用变分来作的

glise

在数学上，要将微分方程的定解问题转化为一个变分问题求解，必须针对已给的定解问题构造一个相应的泛函，并证明定解问题的解与泛函极值问题的解等价。有限元方法就是利用这种等价性，先将微分方程定解问题转化为变分问题的求解问题，然后再设法近似求解变分问题。
如果方程无法找到等价的泛函也就无法用有限元法求解，

NASA

以下是引用glise在2005-9-7 8:51:17的发言：
在数学上，要将微分方程的定解问题转化为一个变分问题求解，必须针对已给的定解问题构造一个相应的泛函，并证明定解问题的解与泛函极值问题的解等价。有限元方法就是利用这种等价性，先将微分方程定解问题转化为变分问题的求解问题，然后再设法近似求解变分问题。
如果方程无法找到等价的泛函也就无法用有限元法求解

　　
等价泛函有没有寻找的方法?通用一点的?

hg_boy

以下是引用lolo在2005-9-10 17:39:16的发言：
　　
等价泛函有没有寻找的方法?通用一点的?

实际上，能够找到泛函的微分方程是及其少数的一部分，很多问题的泛函根本就不存在，
只能用加权余量法来导出有限元方程组。

amphibian

只有对称正定线形自伴随算子在某些特定的边界条件下才有对应的泛函,有限元方程通过加权余量法来获得,事实上这种方法比泛函的变分法更有通用性

polar

个人认为从加权残量法来理解有限元法方称的建立，概念会更加明确！当然变分原理是其本质。

bjhuang

加权余量法/虚功原理、余虚功原理都行。