解析解与数值解

jvhuacha

这两者的具体定义什么呀？两者的联系和区别是什么呀？

zhlong

用手工可以推导出来的是解析解
手工解不出来，只能用数值算法进行求解的是数值解
如很多非线性微分方程直接推导不出解析解，只能用数值算法得出数值解

xinyuxf

解析解是精确解；
数值解是近似解。

记得是这样

无水1324

解析解，即解可以表示为函数表达式的形式；
数值解，即解可以表示为离散的解(数据)形式；
对于非线性问题，解析解一般都是近似的，数值解是较精确的

欧阳中华

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      解析解一般可以理解为通过已经有的方法，是对应的问题在这个解决域上，进行变换演绎得到解的一种结果，变换过程也会有增根或漏根。

      数值解是将问题化解为比较多的子域，然后用比较简单的已知函数来逼近需求函数的相关问题。

     解析法要求基本功比较强，对概念理解非常有利，仅适合简单形式问题；数值解比较简单，要求运算量大，适合工程实际中的复杂问题。

zhuoer

[quote]原帖由 xinyuxf 于 2006-12-19 16:02 发表
解析解是精确解；
数值解是近似解。

是这样的，我们用有限元方法得到的解往往是近似解
在实际问题中，很难求得其精确解

leetun

解析解是解的形式可以表达为一个显式函数的表达式的解；而数值解其解的形式不能表达为显式函数，只能通过数值计算的方式求解，得到的是一系列离散的数值，不能表达为一个明确的函数的形式。对于大多数问题是得不到解析解的，只能得到数值解。能得到解析解的只是一小部分问题，而且通常有比较严格的限制条件。解析解能够很直观的体现各参数之间的关系，对于定性分析是很重要的。对于得不到解析解的问题，进行数值计算得到数值解，对于工程应用很重要。
所谓精确解和近似解，是从算法上决定的。一般的力学模型都是有一定的使用和假设条件的，主要是看在求解有关的问题时，计算的结果与模型的真实值的误差是否为零，如果为零，则是精确解法，如算法本身不能保证得到真实值，则是近似解法，与其是否是解析解无关，与是否是手算和机算也无关。简单的例子，如结构力学中的结构有限元法得出的是精确解，而对于多高层结构的分层法则是近似解法。以上两种方法都是数值解法，但有限元法（指结构力学中的矩阵位移法）直接求解的结构的平衡方程，求解过程中没有对方程进行近似的假设，而分层法对则是利用力矩分配法的研究成果，对于不符和利用力矩分配法的高层结构进行了近似，所以求得的是近似解。有限元法多在计算机上进行实现，而分层法是早期计算机没有出现或还不普及的时候，工程师们解决实际问题的时候所采用的方法。分层法所得到的结果虽然是近似的，与真实结果有一定的误差，但只要误差在一定的范围内，则是可以作为设计的依据进行使用的。再如有限元法和力矩分配法，两种算法都是精确解法，只要单元取得足够多，或者分配的次数足够多，算法本身能够保证其结果是精确解。但是很多情况下是没有必要的，单元太多或者分配次数太多，往往会带来计算量过大的问题，只要误差在一定的范围内，是可以满足工程应用的要求的。
对于非线性问题，由于计算上的困难，一般得到的是近似的数值解。
对于该问题的理解，楼主可以看看龙驭球院士编的《结构力学教程》。
以上是我的理解，请指正。

弯弓射大雕

在解组件特性相关的方程式时，大多数的时候都要去解偏微分或积分式，才能求得其正确的解。依照求解方法的不同，可以分成以下两类： 1. 解析解：  　　所谓的解析解是一种包含分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解的形式。用来求得解析解的方法称为解析法〈analytic techniques、analytic methods〉，解析法即是常见的微积分技巧，例如分离变量法等。
　　解析解为一封闭形式〈closed-form〉的函数，因此对任一独立变量，我们皆可将其带入解析函数求得正确的相依变量。  2. 数值解：  　　当无法藉由微积分技巧求得解析解时，这时便只能利用数值分析的方式来求得其数值解了。数值方法变成了求解过程重要的媒介。在数值分析的过程中，首先会将原方程式加以简化，以利后来的数值分析。例如，会先将微分符号改为差分符号等。然后再用传统的代数方法将原方程式改写成另一方便求解的形式。
　　这时的求解步骤就是将一独立变量带入，求得相依变量的近似解。因此利用此方法所求得的相依变量为一个个分离的数值〈discrete values〉，不似解析解为一连续的分布，而且因为经过上述简化的动作，所以可以想见正确性将不如解析法来的好