[讨论]混沌的微扰判据

frogfish

梅尔尼科夫方法是判定—个物理或力学系统是否具有马蹄变换意义下的混沌常用方法，不知道谁在这方面比较了解，可以讨论一下

多情清秋

关于混沌的微扰判据专门有一本书的，书名好像就叫这个，其他的忘记了，你可以去搜一下

adminftp

　　　混沌的微扰判据

　　　　　　 　目　录

非线性科学丛书出版说明

前　言

第1章　预备知识　1
　　1　符号动力系统　1
　　2　斯梅尔马蹄变换　4
　　3　横截同宿点理论　7

第2章　梅尔尼科夫方法　12
　　4　平面哈密顿系统　12
　　5　同宿轨道的梅尔尼科夫函数　14
　　6　梅尔尼科夫函数的进一步讨论　21
　　7　次谐轨道的梅尔尼科夫函数　28
　　8　次谐轨道的稳定性分析　32

第3章　梅尔尼科夫方法的应用　36
　　9　软弹簧杜芬系统的研究　36
　　10　约瑟夫森结的I-V特性曲线　48
　　11　斯梅尔马蹄变换阀值与次谐阀值之间的关系　58

第4章　梅尔尼科夫方法的发展　68
　　12　两个自由度哈密顿系统的梅尔尼科夫方法　68
　　13　三维缓变系统的梅尔尼科夫方法　74
　　14　映射系统的梅尔尼科夫方法　84
　　15　平均变分法和梅尔尼科夫方法　93
　　16　二阶平均和梅尔尼科夫方法　100

第5章　高阶梅尔尼科夫方法　111
　　17　高阶梅尔尼科夫方法提出的背景　111
　　18　高阶梅尔尼科夫方法的框架　114
　　19　q1α(t)的可解性讨论　123
　　20　约瑟夫森结的I-V特征曲线的子台阶分析　131
　　21　耗散和保守非线性振子系统的讨论　136

第6章　什尔尼科夫方法简解　143
　　22　什尔尼科夫方法　146
　　23　一个具有鞍焦型同宿轨道的电路系统　149
　　24　一类具有鞍焦型同宿轨道的振子系统　158
　　25　具有什尔尼科夫意义下混沌的实验研究　162

附录　雅可比椭圆函数有理式的傅里叶级数　167

参考文献　187

adminftp

混沌的微扰判据

　　　　　　　　　　　前　言

　　梅尔尼科夫方法和什尔尼科夫方法是研究混沌现象的两种解析方
法。

　　物理和力学中许多问题，可以归结为讨论带有弱周期扰动项的具
有同宿轨道或异宿圈的二阶常微分方程和具有鞍焦型同宿轨道的三阶
常微分方程。对于这两类系统，利用一定技巧，可以建立二维庞加莱
映射，梅尔尼科夫方法和什尔尼科夫方法就是用来判定这两类系统的
二维庞加莱映射具有斯梅尔马蹄变换的解析方法。按照动力系统理论，
如果一个平面映射存在斯相尔马蹄变换，这个映射就具有反映混沌属
性的不变集。因而，我们通常就认为可以用梅尔尼科夫方法和什尔尼
科夫方法来判定系统具有斯梅尔马蹄变换意义下的混沌。还应指出，
如果二阶常微分方程具有一族周期轨道，那么，当这个系统带有周期
扰动时，梅尔尼科夫方法还可以用来判定次谐分又轨道的存在。

　　近10年来，梅尔尼科夫方法得到了很大发展，取得了许多成果。
这些成果包括有建立高阶梅尔尼科夫方法来处理超次谐分叉轨道；用
梅尔尼科夫方法来研究多自由度的哈密顿系统的动力学行为；把梅尔
尼科夫方法和平均法与平均变分法结合起来，处理一些特殊系统的动
力学性质；对一类特定三阶常微分方程和一些二维或三维映射，也建
立了相应的梅尔尼科夫方法。所有这些成果，在本书中都尽可能得到
反映。

　　至于什尔尼科夫方法，因为在三维相空间证实存在鞍焦型同宿轨
道是一件极为困难的工作，所以直到现在，还没有得到广泛应用。本
书第6章简单描述了如何在这类系统中建立庞加莱映射和证实存在斯
梅尔马蹄变换的思路。我们认为这一点是很重要的。近年来，利用这
种思路已经把所研究的问题推广到各种高维问题中去。如果熟悉了第
6章中的基本思路，将有利于读者去阅读这方面的专业文献。

　　我们还要强调指出，用梅尔尼科夫方法和什尔尼科夫方法处理的
结果，只能证明存在具有混沌属性的不变集。当然，存在这种不变集
不一定能反映具有混沌属性的奇怪吸引子。一般来说，用梅尔尼科夫
方法和什尔尼科夫方法处理结果，只能说明系统可能有奇怪吸引子，
而不能判定系统一定存在奇怪吸引子。

　　作者在工作中得到国家自然科学基金会和中国科学院力学研究所
非线性连续介质力学开放实验室的资助。这才使作者的研究工作能得
以开展。在此向给作者提供资助的机构表示衷心感谢。多年来，作者
得到了郝柏林教授、朱照宣教授、钱敏教授的支持和帮助，同时也与
许多合作者进行了愉快的合作研究，在此一并表示我的感激之情。

　　限于作者水平，书中一定有不少不妥和错误之处，还望读者给予
批评和指正。


你指的是这本书吗？

多情清秋

是这本

zlqrex

<P>刘增荣编的！最近他还出了《混沌研究中的解析方法》</P>

linlin820

这本书也不算很新了，2002年版的

本书介绍了混沌研究中的两种主要解析方法——Smale马蹄存在性的判定和Melnikov方法。这些方法既可应用于低维动力系统，也可应用于高维动力系统。对于近年这些方法在无穷维动力系统中的发展也作了介绍。

由于注意到理论性和实践性结合的原则，本书省略了一些数学证明，故可以作为应用数学和理工科相关专业的研究生教材。