请熟悉伽辽金方法的大牛指教！

yh0247

我是新手，所以问的问题也很菜：）多多包涵
研究梁的振动问题，假定振动微分方程为R（y），式中y（t，x）为振动位移函数，t表示时间，x表示梁的长，在有的文献中，y可以设为y=v(t)*sin(k*x)，此时应用伽辽金方法，可以通过积分R*y（x）=0得到动力学模型；
现在请教：如果y设为y=v(t)*[sin(k*x)+sinh(kx)+cos(kx)+cosh(kx)]，此时应用伽辽金方法，是否依然可以通过积分R*y（x）=0得到动力学模型，而不管y的振型函数发生了怎样的变化？
请各位大牛不吝赐教，谢谢：）

pengweicai

伽辽金方法属于等效积分形式中的一种，其中的假设函数为近似函数（一般为位移的假设函数）。
你的 y=v(t)*[sin(k*x)+sinh(kx)+cos(kx)+cosh(kx)]，好像是通解啊。一般近似函数的假设都是满足边界条件的。你的假设函数不一定满足，而且这样复杂计算比较不方便，而对精度的提高好像也没有什么效果。

yh0247

如果设为y=v(t)*[sin(k*x)+sinh(kx)+cos(kx)+cosh(kx)]，当每个三角函数前面都有系数时，这是通解，确定解，而且是针对某一种边界条件的，我已经得到了。我是为了叙述的方便，舍掉了前面的系数。我想通过伽辽金方法对R*（位移假设函数）的积进行积分，从而去掉式中的x，得到只针对时间的微分方程。这样复杂计算可能不方便，而且近似计算对精度肯定有影响，但这样如果可以做到（也就是位移复杂函数一样可以通过这样简单的积分方式得到伽辽金过程），我就可以通过多尺度法进行小参数分析了。相反，如果不能通过积分[R*复杂三角函数]的方法得到微分方程，那么这条路才是行不通的。
因此，还请大侠再次指点，谢谢！

WSYcxl

原帖由 yh0247 于 2007-3-30 14:48 发表
如果设为y=v(t)*，当每个三角函数前面都有系数时，这是通解，确定解，而且是针对某一种边界条件的，我已经得到了。我是为了叙述的方便，舍掉了前面的系数。我想通过伽辽金方法对R*（位移假设函数）的积进行积分 ...

首先，把y写成一个时间函数喝位置函数的沉积形式，这个位置函数的具体形式是由边界条件决定的(不考虑动边界或接触非线性问题时)。

LZ提到的那个复杂形式的函数，应该是悬臂梁的振型函数，因为不是初等函数，不能直接求得其定积分，只能通过数值积分方法。

至于误差，因为积分结果只是作为后续方程的系数，不存在误差累积问题，应该说精度还是有保证的。当然你也可以不采用Galerkin法，那就不存在这个问题了。

yh0247

真是太感谢了，你分析得很透彻，能否再指点一下：我的式子中，既存在对时间的偏导，又存在对位移x的偏导，振型函数又是这样复杂的式子，我怎样做才能得到仅对时间t的微分方程呢？最好有详细的论文或专著作为参考，麻烦你了：）

WSYcxl

原帖由 yh0247 于 2007-4-4 13:40 发表
真是太感谢了，你分析得很透彻，能否再指点一下：我的式子中，既存在对时间的偏导，又存在对位移x的偏导，振型函数又是这样复杂的式子，我怎样做才能得到仅对时间t的微分方程呢？最好有详细的论文或专著作为参考 ...

一般的凡是关于”振动“方面的书都都有这方面的论述的，这类书很多的。

Seventy721

昨天我为回答你这个问题辛辛苦苦敲了300多字还带公式，结果网页出问题都没了，气得我再也不想看这个帖子了。不过今天我看着这个帖子还是想回答。没办法，人就是这样贱。呵呵

Seventy721

我觉得你首先得把整体概念弄弄清楚。

你要解的是一个波动方程，其中既有位移U(x,t)对时间t的导数，又有对空间坐标x的导数。一般的解法是这样的，首先根据变量可分离假设有U(x,t)=F(x)*q(t) （这个假设对于一般结构振动问题均成立）。F(x)称为振型函数，q(t)就是时域响应。带入原波动方程，将含有x和t的项分别放到等号两侧。若要等式成立则必须有该式等于一常数。这个常数就是负的固有频率的平方。然后这个式子就变为两个微分方程。一个是只与F(x)，是个偏微分边值问题；另一个只与q(t)有关，是个常微分初值问题。你说的那个复杂公式就是梁的边值问题的通解。通过边界条件（支撑条件），可以解出系统的固有频率和通解中的系数。然后将固有频率带入初值问题，通过初试条件可以解出响应。这样U(x,t)就得到了。

Seventy721

以上是针对自由振动来说，对于出现外力的受迫振动，则需先求振型F(x)，然后将振型带回原波动方程，利用振型的正交条件将波动方程化简为一系列不相耦合的常微分方程，并利用解析或数值方法求解。有关正交条件可以看连续体振动的书。

Seventy721

下面言归正传，说说Galerkin方法。

在求振型方程的过程中，你使用了梁纯弯曲问题的通解。对于简单几何体，我们能找到通解，对于复杂几何体，我们就找不到通解了，这时只好用近似解。Galerkin方法是这样一种近似方法。

Galerkin方法属于Rayleigh-Ritz方法（也称Rayleigh法或Ritz法）。简单说Rayleigh-Ritz法就是先假设一个满足边界条件的近似解（试探函数），然后将这个近似解带回原微分方程，那么就会有残差（误差）产生。我们可以强迫这个残差为零，来求解近似解中的参数。强迫的方法有很多种。Rayleigh-Ritz采用的是将偏微分方程变为等效积分形势的加权余量法。其中权函数选择的不同就产生了不同的变种方法，如配点法，矩法，子域法，最小二乘法等。Galerkin方法就是令权函数取试探函数。我们常用的有限元方法其实就是基于Galerkin方法的。

关于Galerkin方法，你可以参考清华大学出版社出版的《有限单元法》王勖成*。

注*：勖（xu，四声）。以前我就不会读，文盲了：）

Seventy721

今天这些是简化版的解释，你凑合着看吧。

yh0247

谢谢阿，我正在看伽辽金方面的书，要好好补补课啦！！再次感谢：）

卖薪沽酒

Seventy721 发表于 2007-4-8 06:34

                               
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下面言归正传，说说Galerkin方法。

在求振型方程的过程中，你使用了梁纯弯曲问题的通解。对于简单几何体 ...

谢谢，现在刚好在查找Galerkin截断的有关知识，谢谢您的解释，有种豁然开朗的感觉，谢谢了。