基础知识：边界元法的优点

pengweicai

工程问题中物理模型的形成，一般有几种不同的描述形式，可以直接表示成偏微分方程形式，也可以是某个区域上的变分形式，或者归结为边界上某个积分方程的形式，这些不同的数学形式在理论上是等价的，但在实践中不等价，它们分别导致有限差分法FDM（Finite Difference Method）、有限元法FEM（FiniteElement Method）和边界元法BEM（Boundary Element Method）。

边界元法有时也称为边界积分方法BIM(Boundary Integral Method) ，或者是边界积分方程方法BIEM（Boundary Integral Equation Method），它的基本思想是基于格林公式的应用，把一个区域上的积分转化为该区域边界上的积分。早期的边界积分方程法，只是把偏微分方程的边值问题转化为边界积分方程的公式化过程。近代的边界积分方程法，由于计算机技术的兴起，不仅包含了各种方式的边表1.1 结构声辐射数值方法的分类界化过程，更重要的是包含了求解边界积分方程的数值离散技术。七十年代中期，英国Southampton 大学Brebbia 提出，作为一种与有限差分法、有限元法并列的数值方法，边界积分方程方法应当称为边界元法，这一称呼已被公认。

对于声辐射问题的求解，根据分析频率的不同，目前主要有三种方法，即有限元法（FEM），边界元法（BEM），统计能量分析法SEA（Statistical EnergyAnalysis）。由于有限元法在求解声场时需要对时间（瞬态问题）和空间进行离散，如果要保证计算精度，采用线性单元时，单元的长度应为分析波长的1/6－1/10，采用等参单元时，单元的长度应为分析波长的1/3－1/4，因此，随着计算频率的升高，单元的密度将大大增加，计算量也随之急剧增加，因此在实际应用中，有限元法主要适用于求解低频声辐射声场；由于有限元方法要对计算的空间进行单元划分，其另一个问题是不适合于无界声场的求解。

在高频段，声场的分布服从统计规律，统计能量分析方法就是从统计的角度来求解声场，其适用于模态密集的高频声。而在中频段，采用有限元法求解时其计算量太大，又由于频率不是足够的高以至满足统计声学的特点，采用统计能量分析方法求解时其误差太大，因此中频声辐射的求解一直是声学中的难题，边界元法的出现，为中频声的求解提供了可能，边界元的主要优点是以下三点：

1. 将问题的维数降低一维，因此对空间的离散只须在边界上离散化，而不像有限元法需将整个求解域离散，可大大减少单元，同时，求解声场时不对时间进行离散，而是对所计算的频率区间进行离散，减少了数据量和计算时间。
2. 边界元法是一种半解析数值方法，在求解域内是解析的，具有解析与离散相结合的特点，因而精度也较高，误差主要来源于边界单元的离散，累积误差小，便于控制。
3. 由于边界元方程自动满足无穷远的边界条件，因此特别适用于无界声场的求解。同时边界元法只须对边界进行单元剖分，利用形函数插值求出边界节点上的未知值，就可以通过边界上的已知值计算声场内任意点的解析值，这对无界区域上的问题特别有意义。

[ 本帖最后由 pengweicai 于 2007-4-28 10:13 编辑 ]

w89986581

补充下缺点吧：
1.奇异频率的非唯一性问题；
2.奇异积分或者超奇异积分；
3.潜在的高位矩阵求逆问题。
对于缺点1和2，已有多种改进方法，但是均是已增加计算量为代价的；缺点3是限制边界元方法的主要障碍。

haha1234567

还请楼主再简单介绍一下声学能量分析法的基本原理和应用。谢谢！

fifor

:@D :@D :@D 学习了

zhangxd1985

请问楼主利用BEM求解过helmholtz方程的无限域问题吗？我想请问一下，该问题声压的系数矩阵的对角元素是用什么方法求得的？十分感谢！

liuchengzhu

这里高人可真多啊

w89986581

helmholtz方程离散自然可以得到矩阵A与B

zhangxd1985

谢谢！我的问题已经解决了。Helmholtz方程离散自然可以得到矩阵A与B，但无法利用弹性问题或势问题的间接法求得对角元素，因此必须面对Cauchy Principal Value Integral。这是一个很麻烦的问题，大家都尽量避免去进行这样的积分。这几天发现，可以利用声学问题和势问题的基本解具有相似的奇异性来解决，具体细节见”A boundary integral equation method for radiation and scattering of elastic waves in three dimensions“

杨星遥

谢谢分享啊