遗传算法解非线性方程组

frogfish

下边是用遗传算法解非线性方程组的程序。
程序用MATLAB语言编写。之所以选择MATLB，是因为它简单，但又功能强大。写1行MATLAB程序，相当于写10行C++程序。在编写算法阶段，最好用MATLAB语言，算法验证以后，要进入工程阶段，再把它翻译成C++语言。
本程序的算法很简单，只具有示意性，不能用于实战。
非线性方程组的实例在函数(2)nonLinearSumError1(x)中，你可以用这个实例做样子构造你自己待解的非线性方程组。
%注意：标准遗传算法的一个重要概念是，染色体是可能解的2进制顺序号，由这个序号在可能解的集合(解空间)中找到可能解

%程序的流程如下：
%程序初始化，随机生成一组可能解(第一批染色体)
%1: 由可能解的序号寻找解本身(关键步骤)
%2：把解代入非线性方程计算误差，如果误差符合要求，停止计算
%3：选择最好解对应的最优染色体
%4：保留每次迭代产生的最好的染色体，以防最好染色体丢失
%5: 把保留的最好的染色体holdBestChromosome加入到染色体群中
%6: 为每一条染色体(即可能解的序号)定义一个概率(关键步骤)
%7：按照概率筛选染色体(关键步骤)
%8：染色体杂交(关键步骤)
%9：变异
%10:到1

1. %这是遗传算法的主程序，它需要调用的函数如下。
   
2. %由染色体(可能解的2进制)顺序号找到可能解：
   
3. %(1)x=chromosome_x(fatherChromosomeGroup,oneDimensionSet,solutionSum);
   
4. %把解代入非线性方程组计算误差函数：(2)functionError=nonLinearSumError1(x);
   
5. %判定程是否得解函数：(3)[solution,isTrue]=isSolution(x,funtionError,solutionSumError);
   
6. %选择最优染色体函数：
   
7. %(4)[bestChromosome,leastFunctionError]=best_worstChromosome(fatherChromosomeGroup,functionError);
   
8. %误差比较函数：从两个染色体中，选出误差较小的染色体
   
9. %(5)[holdBestChromosome,holdLeastFunctionError]...
   
10. % =compareBestChromosome(holdBestChromosome,holdLeastFunctionError,...
    
11. % bestChromosome,leastFuntionError)
    
12. %为染色体定义概率函数，好的染色体概率高，坏染色体概率低
    
13. %(6)p=chromosomeProbability(functionError);
    
14. %按概率选择染色体函数：
    
15. %(7)slecteChromosomeGroup=selecteChromome(fatherChromosomeGroup,p);
    
16. %父代染色体杂交产生子代染色体函数
    
17. %(8)sonChrmosomeGroup=crossChromosome(slecteChromosomeGroup,2);
    
18. %防止染色体超出解空间的函数
    
19. %(9)chromosomeGroup=checkSequence(chromosomeGroup,solutionSum)
    
20. %变异函数
    
21. %(10)fatherChromosomeGroup=varianceCh(sonChromosomeGroup,0.8,solutionN);
    
22. %通过实验有如下结果：
    
23. %1。染色体应当多一些
    
24. %2。通过概率选择染色体，在迭代早期会有效选出优秀的染色体，使解的误差迅速降低，
    
25. %但随着迭代的进行，概率选择也会导致某种染色体在基因池中迅速增加，使染色体趋同，
    
26. %这就减少了物种的多样性，反而难以逼近解
    
27. %3。不用概率选择，仅采用染色体杂交，采用保留优秀染色体，也可以得到解
    
28. 
    
29. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%程序开始运行
    
30. 
    
31. clear,clc;%清理内存，清屏
    
32. circleN=200;%迭代次数
    
33. format long
    
34. 
    
35. %%%%%%%%%%%%%%%构造可能解的空间，确定染色体的个数、长度
    
36. solutionSum=4;leftBoundary=-10;rightBoundary=10;
    
37. distance=1;chromosomeSum=500;solutionSumError=0.1;
    
38. %solutionSum:非线性方程组的元数(待解变量的个数)；leftBoundary:可能解的左边界；
    
39. %rightBoundary:可能解的右边界；distance:可能解的间隔，也是解的精度
    
40. %chromosomeSum:染色体的个数；solveSumError:解的误差
    
41. oneDimensionSet=leftBoundary:distance:rightBoundary;
    
42. %oneDimensionSet:可能解在一个数轴(维)上的集合
    
43. oneDimensionSetN=size(oneDimensionSet,2);%返回oneDimensionSet中的元素个数
    
44. solutionN=oneDimensionSetN^solutionSum;%解空间(解集合)中可能解的总数
    
45. binSolutionN=dec2bin(solutionN);%把可能解的总数转换成二进制数
    
46. chromosomeLength=size(binSolutionN,2);%由解空间中可能解的总数(二进制数)计算染色体的长度
    
47. 
    
48. %%%%%%%%%%%%%%%%程序初始化
    
49. %随机生成初始可能解的顺序号,+1是为了防止出现0顺序号
    
50. solutionSequence=fix(rand(chromosomeSum,1)*solutionN)+1;
    
51. for i=1:chromosomeSum%防止解的顺序号超出解的个数
    
52. if solutionSequence(i)>solutionN;
    
53. solutionSequence(i)=solutionN;
    
54. end
    
55. end
    
56. %染色体是解集合中的序号,它对应一个可能解
    
57. %把解的十进制序号转成二进制序号
    
58. fatherChromosomeGroup=dec2bin(solutionSequence,chromosomeLength);
    
59. holdLeastFunctionError=Inf;%可能解的最小误差的初值
    
60. holdBestChromosome=0;%对应最小误差的染色体的初值
    
61. 
    
62. %%%%%%%%%%%%%%%%%%开始计算
    
63. circle=0;
    
64. while circle<circleN%开始迭代求解
    
65. circle=circle+1;%记录迭代次数
    
66. %%%%%%%%%%%%%1:由可能解的序号寻找解本身(关键步骤)
    
67. x=chromosome_x(fatherChromosomeGroup,oneDimensionSet,solutionSum);
    
68. %%%%%%%%%%%%%2：把解代入非线性方程计算误差
    
69. functionError=nonLinearSumError1(x);%把解代入方程计算误差
    
70. [solution,minError,isTrue]=isSolution(x,functionError,solutionSumError);
    
71. %isSolution函数根据误差functionError判定方程是否已经解开，isTrue=1,方程得解。solution是方程的解
    
72. if isTrue==1
    
73. '方程得解'
    
74. solution
    
75. minError
    
76. circle
    
77. return%结束程序
    
78. end
    
79. %%%%%%%%%%%%%3：选择最好解对应的最优染色体
    
80. [bestChromosome,leastFunctionError]=best_worstChromosome(fatherChromosomeGroup,functionError);
    
81. %%%%%%%%%%%%%4：保留每次迭代产生的最好的染色体
    
82. %本次最好解与上次最好解进行比较，如果上次最好解优于本次最好解，保留上次最好解；
    
83. %反之，保留本次最好解。保留的最好染色体放在holdBestChromosome中
    
84. [holdBestChromosome,holdLeastFunctionError]...
    
85. =compareBestChromosome(holdBestChromosome,holdLeastFunctionError,...
    
86. bestChromosome,leastFunctionError);
    
87. %circle
    
88. %minError
    
89. %solution
    
90. %holdLeastFunctionError
    
91. 
    
92. %%%%%%%%%%%%%%5:把保留的最好的染色体holdBestChromosome加入到染色体群中
    
93. order=round(rand(1)*chromosomeSum);
    
94. if order==0
    
95. order=1;
    
96. end
    
97. fatherChromosomeGroup(order,:)=holdBestChromosome;
    
98. functionError(order)=holdLeastFunctionError;
    
99. 
    
100. %%%%%%%%%%%%%%%6:为每一条染色体(即可能解的序号)定义一个概率(关键步骤)
     
101. %%%%%%%%%%%%%%%好的染色体概率高，坏的概率低。依据误差functionError计算概率
     
102. [p,trueP]=chromosomeProbability(functionError);
     
103. if trueP =='Fail'
     
104. '可能解严重不适应方程，请重新开始'
     
105. return%结束程序
     
106. end
     
107. %%%%%%%%%%%%%%%7：按照概率筛选染色体(关键步骤)
     
108. %fa=bin2dec(fatherChromosomeGroup)%显示父染色体
     
109. %从父染体中选择优秀染色体
     
110. %selecteChromosomeGroup=selecteChromosome(fatherChromosomeGroup,p);
     
111. %%%%%%%%%%%%%%%8：染色体杂交(关键步骤)
     
112. %sle=bin2dec(selecteChromosomeGroup)%显示选择出来的解的序号(染色体)
     
113. %用概率筛选出的染色体selecteChromosomeGroup进行杂交，产生子代染色体
     
114. %sonChromosomeGroup=crossChromosome(selecteChromosomeGroup,2);
     
115. %不用概率筛选出的染色体selecteChromosomeGroup进行杂交，而直接用上一代(父代)的
     
116. sonChromosomeGroup=crossChromosome(fatherChromosomeGroup,2);
     
117. %cro=bin2dec(sonChromosomeGroup)%显示杂交后的子代染色体
     
118. sonChromosomeGroup=checkSequence(sonChromosomeGroup,solutionN);%检查杂交后的染色体是否越界
     
119. %%%%%%%%%%%%%%%9：变异
     
120. %不杂交直接变异
     
121. %fatherChromosomeGroup=varianceCh(fatherChromosomeGroup,0.1,solutionN);
     
122. %杂交后变异
     
123. fatherChromosomeGroup=varianceCh(sonChromosomeGroup,0.1,solutionN);
     
124. fatherChromosomeGroup=checkSequence(fatherChromosomeGroup,solutionN);%检查变异后的染色体是否越界
     
125. end

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函数(1)：由染色体(可能解的2进制)顺序号找到可能解

1. %这个函数找出染色体(可能解的序号)对应的可能解x
   
2. function x=chromosome_x(chromosomeGroup,oneDimensionSet,solutionSum)
   
3. %chromosomeGroup:染色体，也是可能解的二进制序号
   
4. %oneDimensionSet:一维数轴上的可能解
   
5. %solutionSum:非线性方程组的元数，也就是待解方程中未知变量的个数
   
6. [row oneDimensionSetN]=size(oneDimensionSet);
   
7. %oneDimensionSetN:一维数轴上可能解的个数
   
8. chromosomeSum=size(chromosomeGroup);%chromosomeSum:染色体的个数
   
9. xSequence=bin2dec(chromosomeGroup);%把可能解的二进制序号(染色体)转换成十进制序号
   
10. for i=1:chromosomeSum%i:染色体的编号
    
11. remainder=xSequence(i);
    
12. for j=1:solutionSum
    
13. dProduct=oneDimensionSetN^(solutionSum-j);%sNproduct:
    
14. quotient=remainder/dProduct;
    
15. remainder=mod(remainder,dProduct);%mod:取余函数
    
16. if remainder==0
    
17. oneDimensionSetOrder=quotient;
    
18. %oneDimensionSetOrder:可能解在数轴上的序号
    
19. else
    
20. oneDimensionSetOrder=fix(quotient)+1;%fix:取整函数
    
21. end
    
22. if oneDimensionSetOrder==0
    
23. oneDimensionSetOrder=oneDimensionSetN;
    
24. end
    
25. x(i,j)=oneDimensionSet(oneDimensionSetOrder);
    
26. end
    
27. end

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函数(2)：把解代入非线性方程组计算绝对误差函数：

1. function funtionError=nonLinearSumError1(X)%方程的解是-7,5,1,-3
   
2. funtionError=...
   
3. [
   
4. abs(X(:,1).^2-sin(X(:,2).^3)+X(:,3).^2-exp(X(:,4))-50.566253390821)+...
   
5. abs(X(:,1).^3+X(:,2).^2-X(:,4).^2+327)+...
   
6. abs(cos(X(:,1).^4)+X(:,2).^4-X(:,3).^3-624.679868769613)+...
   
7. abs(X(:,1).^4-X(:,2).^3+2.^X(:,3)-X(:,4).^4-2197)
   
8. ];

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函数(3)：判定程是否得解函数：

1. %判断方程是否解开
   
2. function [solution,minError,isTrue]=isSolution(x,functionError,precision)
   
3. [minError,xi]=min(functionError);%找到最小误差，最小误差所对应的行号
   
4. solution=x(xi,:);
   
5. if minError<precision
   
6. isTrue=1;
   
7. else
   
8. isTrue=0;
   
9. end

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%函数(4)：选择最优染色体函数：
%找出最小误差所对应的最好染色体，最大误差所对应的最坏染色体

1. function [bestChromosome,leastFunctionError]=best_worstChromosome(chromosomeGroup,functionError)
   
2. [leastFunctionError minErrorOrder]=min(functionError);
   
3. %[maxFunctionError maxErrorOrder]=max(functionError);
   
4. bestChromosome=chromosomeGroup(minErrorOrder,:);
   
5. %worstChromosome=chromosomeGroup(maxErrorOrder,:);

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函数(5)：误差比较函数：从两个染色体中，选出误差较小的染色体
%选择最好的基因保留下来

1. function [newBestChromosome,newLeastFunctionError]...
   
2. =compareBestChromosome(oldBestChromosome,oldLeastFunctionError,...
   
3. bestChromosome,leastFunctionError)
   
4. if oldLeastFunctionError>leastFunctionError
   
5. newLeastFunctionError=leastFunctionError;
   
6. newBestChromosome=bestChromosome;
   
7. else
   
8. newLeastFunctionError=oldLeastFunctionError;
   
9. newBestChromosome=oldBestChromosome;
   
10. end

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函数(6)：为染色体定义概率函数，好的染色体概率高，坏染色体概率低
%根据待解的非线性函数的误差计算染色体的概率

1. function [p,isP]=chromosomeProbability(x_Error)
   
2. InfN=sum(isinf(x_Error));%估计非线性方程计算的结果
   
3. NaNN=sum(isnan(x_Error));
   
4. if InfN>0 || NaNN>0
   
5. isP='Fail';
   
6. p=0;
   
7. return
   
8. else
   
9. isP='True';
   
10. errorReciprocal=1./x_Error;
    
11. sumReciprocal=sum(errorReciprocal);
    
12. p=errorReciprocal/sumReciprocal;%p:可能解所对应的染色体的概率
    
13. end

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函数(7)：按概率选择染色体函数：

1. function chromosome=selecteChromosome(chromosomeGroup,p)
   
2. cumuP=cumsum(p);%累积概率,也就是把每个染色体的概率映射到0~1的区间
   
3. [chromosomeSum,chromosomeLength]=size(chromosomeGroup);
   
4. for i=1:chromosomeSum%这个循环产生概率值
   
5. rN=rand(1);
   
6. if rN==1
   
7. chromosome(i,:)=chromosomeGroup(chromosomeSum,:);
   
8. elseif (0<=rN) && (rN<cumuP(1))
   
9. chromosome(i,:)=chromosomeGroup(1,:);%第1条染色体被选中
   
10. else
    
11. for j=2:chromosomeSum%这个循环确定第1条以后的哪一条染色体被选中
    
12. if (cumuP(j-1)<=rN) && (rN<cumuP(j))
    
13. chromosome(i,:)=chromosomeGroup(j,:);
    
14. break
    
15. end
    
16. end
    
17. end
    
18. end

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函数(8)：父代染色体杂交产生子代染色体函数

1. function sonChromosome=crossChromosome(fatherChromosome,parameter)
   
2. [chromosomeSum,chromosomeLength]=size(fatherChromosome);
   
3. %chromosomeSum:染色体的条数；chromosomeLength：染色体的长度
   
4. switch parameter
   
5. case 1%随机选择父染色体进行交叉重组
   
6. for i=1:chromosomeSum/2
   
7. crossDot=fix(rand(1)*chromosomeLength);%随机选择染色体的交叉点位
   
8. randChromosomeSequence1=round(rand(1)*chromosomeSum);
   
9. %随机产生第1条染色体的序号
   
10. randChromosomeSequence2=round(rand(1)*chromosomeSum);
    
11. %随机产生第2条染色体的序号，这两条染色体要进行杂交
    
12. if randChromosomeSequence1==0%防止产生0序号
    
13. randChromosomeSequence1=1;
    
14. end
    
15. if randChromosomeSequence2==0%防止产生0序号
    
16. randChromosomeSequence2=1;
    
17. end
    
18. if crossDot==0 || crossDot==1
    
19. sonChromosome(i*2-1,:)=fatherChromosome(randChromosomeSequence1,:);
    
20. sonChromosome(i*2,:)=fatherChromosome(randChromosomeSequence2,:);
    
21. else
    
22. %执行两条染色体的交叉
    
23. sonChromosome(i*2-1,:)=fatherChromosome(randChromosomeSequence1,:);
    
24. %把父染色体整条传给子染色体
    
25. sonChromosome(i*2-1,crossDot:chromosomeLength)=...
    
26. fatherChromosome(randChromosomeSequence2,crossDot:chromosomeLength)
    
27. %下一条父染色体上交叉点crossDot后的基因传给子染色体，完成前一条染色体的交叉
    
28. sonChromosome(i*2,:)=fatherChromosome(randChromosomeSequence2,:);
    
29. sonChromosome(i*2,crossDot:chromosomeLength)...
    
30. =fatherChromosome(randChromosomeSequence1,crossDot:chromosomeLength)
    
31. end
    
32. end
    
33. case 2 %父染色体的第i号与第chromosomeSum+1-i号交叉
    
34. for i=1:chromosomeSum/2
    
35. crossDot=fix(rand(1)*chromosomeLength);%随机选择染色体的交叉点位
    
36. if crossDot==0 || crossDot==1
    
37. sonChromosome(i*2-1,:)=fatherChromosome(i,:);
    
38. sonChromosome(i*2,:)=fatherChromosome(chromosomeSum+1-i,:);
    
39. else
    
40. %执行两条染色体的交叉
    
41. sonChromosome(i*2-1,:)=fatherChromosome(i,:);%把父染色体整条传给子染色体
    
42. sonChromosome(i*2-1,crossDot:chromosomeLength)...
    
43. =fatherChromosome(chromosomeSum+1-i,crossDot:chromosomeLength);
    
44. %下一条父染色体上交叉点crossDot后的基因传给子染色体，完成前一条染色体的交叉
    
45. sonChromosome(i*2,:)=fatherChromosome(chromosomeSum+1-i,:);
    
46. sonChromosome(i*2,crossDot:chromosomeLength)...
    
47. =fatherChromosome(i,crossDot:chromosomeLength);
    
48. end
    
49. end
    
50. case 3 %父染色体的第i号与第i+chromosomeSum/2号交叉
    
51. for i=1:chromosomeSum/2
    
52. crossDot=fix(rand(1)*chromosomeLength);%随机选择染色体的交叉点位
    
53. if crossDot==0 || crossDot==1
    
54. sonChromosome(i*2-1,:)=fatherChromosome(i,:);
    
55. sonChromosome(i*2,:)=fatherChromosome(i+chromosomeSum/2,:);
    
56. else
    
57. %执行两条染色体的交叉
    
58. sonChromosome(i*2-1,:)=fatherChromosome(i,:);%把父染色体整条传给子染色体
    
59. sonChromosome(i*2-1,crossDot:chromosomeLength)...
    
60. =fatherChromosome(i+chromosomeSum/2,crossDot:chromosomeLength);
    
61. %下一条父染色体上交叉点crossDot后的基因传给子染色体，完成前一条染色体的交叉
    
62. sonChromosome(i*2,:)=fatherChromosome(i+chromosomeSum/2,:);
    
63. sonChromosome(i*2,crossDot:chromosomeLength)...
    
64. =fatherChromosome(i,crossDot:chromosomeLength);
    
65. end
    
66. end
    
67. end

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函数(9)：防止染色体超出解空间的函数
%检测染色体(序号)是否超出解空间的函数

1. function chromosome=checkSequence(chromosomeGroup,solutionSum)
   
2. [chromosomeSum,chromosomeLength]=size(chromosomeGroup);
   
3. decimalChromosomeSequence=bin2dec(chromosomeGroup);
   
4. for i=1:chromosomeSum %检测变异后的染色体是否超出解空间
   
5. if decimalChromosomeSequence(i)>solutionSum
   
6. chRs=round(rand(1)*solutionSum);
   
7. if chRs==0
   
8. chRs=1;
   
9. end
   
10. decimalChromosomeSequence(i)=chRs;
    
11. end
    
12. end
    
13. chromosome=dec2bin(decimalChromosomeSequence,chromosomeLength);

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函数(10)：变异函数

1. %基因变异.染色体群中的1/10变异。vR是变异概率。solutionN是解空间中全部可能解的个数
   
2. function aberranceChromosomeGroup=varianceCh(chromosomeGroup,vR,solutionN)
   
3. [chromosomeSum,chromosomeLength]=size(chromosomeGroup);
   
4. if chromosomeSum<10
   
5. N=1;
   
6. else
   
7. N=round(chromosomeSum/10);
   
8. end
   
9. 
   
10. if rand(1)>vR %变异操作
    
11. for i=1:N
    
12. chromosomeOrder=round(rand(1)*chromosomeSum);%产生变异染色体序号
    
13. if chromosomeOrder==0
    
14. chromosomeOrder=1;
    
15. end
    
16. aberrancePosition=round(rand(1)*chromosomeLength);%产生变异位置
    
17. if aberrancePosition==0
    
18. aberrancePosition=1;
    
19. end
    
20. if chromosomeGroup(chromosomeOrder,aberrancePosition)=='1'
    
21. chromosomeGroup(chromosomeOrder,aberrancePosition)='0';%变异
    
22. else
    
23. chromosomeGroup(chromosomeOrder,aberrancePosition)='1';%变异
    
24. end
    
25. end
    
26. aberranceChromosomeGroup=chromosomeGroup;
    
27. else
    
28. aberranceChromosomeGroup=chromosomeGroup;
    
29. end

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来自搜狐博客=〉人工智能

zwf100

谢谢楼主分享

tranlynn_lau

Thanks a lot.~~~~~~~~~~~~~

gxumwl

谢谢楼主分享，敢问楼主有没有关于非线性二阶微分方程组的程序？