清华的微分流形课程

多情清秋 · 发表于 2005-11-22 08:46

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网址：<a href="http://faculty.math.tsinghua.edu.cn/~jzhou/DM.htm" target="_blank" >http://faculty.math.tsinghua.edu.cn/~jzhou/DM.htm</A>
清华大学数学科学系自2002年秋季起开始实行博士生资格考试制度，只有在规定时间内 通过了代数学、分析学、几何学三门学科之一的资格考试的学生才有资格攻读博士学位。 在今后几年内本系将逐步提高要求，最终所有的博士生都需要通过以上三门考试。这无疑 将会提高本系毕业博士的水平。为了帮助学生学习相关的数学知识, 本系设置了三门课程 ，本课程即为其中之一，负担几何学方面的准备工作。 本课程已被定为清华大学系级精品课程进行建设。通常本课程面向基础数学特别是几何专 业的学生，现在面向所有数学专业甚至许多外系的学生，因此课程内容和讲课方式都要有 所调整。本系对本课程的指导思想是重在通俗全面的介绍，尽量避免繁琐专门的讨论， 但也不能流于名词介绍。我们在以下几个方面进行努力： 1. 编写新教材。国内国外已经出版了大量的微分流形方面的书籍，但没有一本适合我们 的特殊情况。我们强调从本科阶段的数学课程如微积分、线性代数、微分方程、复变函数 、抽象代数、古典微分几何中抽取熟知的概念和方法，推广到流形上去。这可以帮助学 生了解古典数学和现代数学之间的联系，以及现代数学的统一性。 2. 采用新的考核方法。每次讲课前由一位学生简述上一次课的内容，同学给他打分。期 末给出一些没讲过的课题，每个学生选一个，查找参考文献自学以后报告，同学给他打分 。通过这种方法增加同学的参与程度，提高自学能力，增强表达交流能力。 最基本要求：多元微积分，线性代数，常微分方程。 需要用到：点集拓扑学，抽象代数，复变函数论，曲线曲面的微分几何。 一、流形的基本概念：流形的定义和基本例子，子流形，切空间和切丛，光滑函数、光滑 映射及切映射。要求了解球面、环面、射影空间等基本例子，并了解一维、二维流形的分 类。要求了解浸入（immersion）、嵌入（embedding）、淹没（submersion）和微分同胚 的概念。 二、正则性、奇异性及其应用：正则点和正则值，临界点和临界值，Sard定理，Morse引 理，Thom横截性定理。要求了解映射度的概念，并能运用正则值的概念验证某些空间是流 形。 三、光滑向量场和可积性定理：光滑向量场及其奇点的定义，Lie括号，积分曲线和动力 系统，Euler-Poincare公式，Frobenius可积性定理。 四、 Lie群和Lie 群作用初步：Lie群和Lie代数的定义和基本例子，单参数子群，指数映 射，Lie群在流形上的作用，基本向量场，齐性空间等。要求能够验证一些常见的矩阵群为 Lie群并计算它们的Lie代数，并对一些低维Lie群的流形结构较为熟悉。要求能将一些常见 流形写成齐性流形。 五、微分形式和积分：微分形式和外积的定义和性质，外微分，内积，Lie 导数，Carta n公式，de Rham上同调，Poincare对偶，Laplace算子，Hodge理论初步，定向和微分形式 的积分，带边流形和Stokes定理。要求掌握单位分解的技巧，要求了解外微分和Stokes定 理的古典形式。要求能够计算常见流形和二维流形的上同调环。 六、 Riemann 几何初步：Riemann度量，Levi-Civita联络，Christoffel符号，Rieman曲 率，截曲率，常截曲率流形的模型。要求能够从给定的Riemann度量计算Riemann曲率。要 求对向量丛的概念和张量运算较为熟悉。 微分流形的知识为进一步学习现代数学和物理提供了准备知识。这里列出一些研究方向用 到微分流形的部分课程。 · 对Riemann几何、几何分析感兴趣的：Riemann几何，极小子流形，调和映照， Hodge 理论。 · 对表示论感兴趣的：Lie群及其表示，代数拓扑，代数几何。 · 对流形的拓扑感兴趣的：微分拓扑，代数拓扑，Morse理论，示性类理论，Lie群及其 表示，联络理论，Chern-Weil理论，等变上同调理论。 · 对指标理论感兴趣的：代数拓扑，联络理论，Chern-Weil理论，指标理论。 · 对可积系统感兴趣的：Riemann面, 联络理论, 辛几何，椭圆函数。 · 对动力系统感兴趣的：辛几何，Morse理论。 · 对复几何、代数几何、代数数论感兴趣的：Riemann面，复流形，形变理论，复曲面， 代数拓扑，联络理论，Chern-Weil理论，指标理论，椭圆函数，模形式， Lie群及其表 示。 · 对低维拓扑学感兴趣的：以上全部。 · 对超弦理论感兴趣的：以上全部。 · 第一节，微分流形概念的引入：Riemann在哥廷根大学讲演的英译本可见 M.Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. II.,Publ ish or Perish, Berkeley, 1979. · 第二节，关于Morse理论，可参看 J. Milnor, Morse theory. · 第三节，引进tangent space和1-form时采用了代数几何中的做法，可参看 R. Hartshorne, Algebraic geometry. 其中用到局部化等代数方法，可参看 M.Atiyah and I.G.Mcdonald, Commutative Algebra. · 第四节、第五节，可参看 Brocker and Janich, Introduction to differential topology. 关于Frobenius integrablity theorem, 可参看 F. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. · 第六节、第七节，可参看 F. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. · 第八节，可参看 Gallot, Hulin, Lafontaine, Riemannian geometry. Einstein的工作激发了数学家对微分几何的兴趣，从而极大地促进了这门学科的发展。数 学家和物理学家当时关心的自然的问题是Maxwell的电磁理论的几何化和引力理论与电磁理 论的统一。Einstein后期致力于大统一理论的研究没有取得有意义的进展，一个重要的原 因可能是他没有利用广义相对论出现以后发展的几何学。 数学家Hilbert、Weyl和Cartan都对以上问题做过研究。他们的工作突出了流形上联络的重 要性，他们都对数学上用来描述连续对称性的Lie群的研究做出过重大贡献。Cartan的工作 为现代微分几何的发展奠定了基础。他引进的微分形式理论是研究流形的代数拓扑的基本 工具，纤维丛及其联络成为几何学的基本研究对象。Weyl提出的规范原理后来被杨振宁等 人发展为规范场论，成为各种统一理论的基础。杨振宁先生上一世纪五十年代提出规范场 论时并不清楚与几何学的关系，后来人们逐渐认识到了它与几何学的一致性，引发了理论 物理和微分几何的深入交流，产生了Donaldson理论，Seiberg-Witten理论、Gromov-Witt en理论等。 陈省身先生的工作建立了流形的局部几何性质与整体的拓扑性质的关系。他引进的陈示性 类是几何学发展的一个里程碑，以后的重要进展无不建立在其基础上，例如高维Riemann- Roch定理、指标理论等等。陈先生1984年度的Wolf奖的证书上写到：“他在整体微分几何 上的卓越成就，其影响遍及整个数学。” 这里我们简单介绍了微分几何早期的一些历史发展（到二十世纪四十年代），我写的综述 文章有更多的信息。完备准确的微分几何史只能等待陈先生这样的大师来写。对代数几何 因为与本课程的内容相差较远则完全没有提及。但我想指出微分几何与代数几何是密切相 关的学科，陈先生的工作也是代数几何的基本工具。 Fields奖获得者丘成桐先生的得奖工 作一个在广义相对论领域(正质量猜想），一个在代数几何（Calabi猜想）。后者在超弦 理论中起关键的作用。有趣的是其他得过Fields奖的亚洲数学家如Kodaira、Hironaka、 Mori都是代数几何学家。 对于有志于理论物理特别是超弦理论的研究的学生来说，微分几何与代数几何是必修的学 科。对这一点有疑问的话，可以参看Brian Greene的通俗读物“宇宙的琴弦”(The Elega nt Universe)，特别是第十章。去年夏天来到中国引起轰动的Hawking的重要结果之一是与 Penrose利用微分拓扑证明的黑洞存在性。丘成桐先生认为Hawking在微分几何上的贡献胜 过大部分的微分几何学家。见他的讲话稿。 本课程期末考试采用口试的方法。在给出的一些没讲过的课题中，每个学生选一个，查阅 参考文献自学以后报告，同学给他打分。通过这种方法增加同学的参与程度，提高自学能 力，增强表达交流能力。 以下是计划采用的选题： 1. Sard Theorem 2. Homotopy invariance of degrees of maps 3. Browder Fixed Point Theorem 4. Manifolds with boundary and cobordism ring 5. Morse Inequalities 6. Poincare-Hopf Theorem 7. Fundamental Groups 8. Covering Spaces 9. Higher homotopy groups are abelian 10. Vector bundles and their sections 11. Tubular neighborhood theorem 12. De Rham theorem and Poincare duality theorem 13. Laplace operator and Hodge theory 14. Exceptional Lie Groups 15. Gauss-Bonnet-Chern theorem and Chern classes 16. Introduction to Yang-Mills theory 17. Brief history of Poincare conjecture 18. Hawking-Penrose singularity theorem 19. Exotic $7$-spheres 20. Introduction to Donaldson's work and exotic R^4 21. Darboux theorem 22. Hamiltonian action and moment maps 23. Maxwell's equations in terms of exterior differential forms

yuanchili · 发表于 2008-11-15 16:37

看完了,有点汗!
我自问对几何感兴趣,但没想到几何还真复杂难懂!:@L
路漫漫.....

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[数学理论] 清华的微分流形课程

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