哪位朋友对HRFT比较清楚，给讲解下

cloudofsky

网上看到了一篇相关文章，但资料很少，摸不着头脑，希望清楚的朋友给介绍下。
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如果你只是对计算小频率范围上的频谱有兴趣，那HRFT可能比FFT更有效。频率范围越窄，HRFT的吸引力就越大。当必须利用有限的存储资源在嵌入式系统中执行运算时，这一点尤为明显。
许多科学和工程应用都要求信号准确的频谱或傅立叶变换。式1以无量纲形式(dimensionless form)给出，其中Ω =ΩT，T是采样间隔，q[n] = q(nT)，代表信号q(t)的第n次采样。该式也假设信号为有限长序列，故总共仅有N个连续采用点。Q(Ω)是连续变量Ω的周期函数，周期为2e。
常规求解方法是在区间Ω = [0,2e]内的N个均匀间隔点上计算Q(Ω)的值。这个过程叫做离散傅立叶变换(DFT)，通常利用快速傅利叶变换(FFT)的算法来完成。DFT给出点Ω= 2ek/N (k = 0...N -1)的傅立叶变换，从而按照实际频率给出了Ω=2e/(NT)或f=1/(NT)的分辨率。对许多应用来说，这种分辨率可能已经足够。
对于某些应用，必须非常准确地确定频谱峰值(spectralpeak)的位置。在这种情况下，DFT提供的分辨率可能不够。提高分辨率的方法之一就是简单地用额外的零来增加采样点。例如，为加倍频率分辨率，你可以在q[n]序列末尾增添N个零，使总的序列长度为2N。DFT将在2N个点上计算Q(Ω)，从而使分辨率提高一倍。
信号采样序列的傅立叶变换如式1所示。
为提高分辨率而增加的零的个数是有限制的。通常，只有在很小的频率范围内才需要提高分辨率。这里提供了一种简洁明了的办法，那就是直接在你感兴趣的频率范围上计算式1。下面给出有效算法。
采用欧拉恒等式，我们可以把式1分为实数和虚数两部分：
通过契比雪夫多项式(Chebyshev polynomials)，我们从sinΩ和cosΩ开始，有效地进行sin(nΩ)和cos(nΩ)的递归运算。
在式4和式5中，已知T0 =1、T1=cosΩ、U0=1以及U1=2cosΩ，我们可以利用下列公式计算每一个Tn和Un。
现在我们只需要cosΩ和sinΩ，就能够以任意的高分辨率(远大于标准FFT)在一个非常小的频率范围上计算子频谱了。这一程序hrft用C语言编写，执行如下：
hrft f1 f2 Nf N sps infile outfile
其中，f1=开始频率(Hz)，f2=终止频率(Hz)，Nf=计算FT的频率点数， N=从输入文件读取的采样点数，sps=每秒采样点数，infile=输入文件，outfile=输出文件。
图中显示了由FFT算法产生的从2260Hz到2268 Hz的部分频谱，以及由高分辨率傅立叶变换(HRFT)在该频率范围上产生的频谱。
两种方法都采用了相同的2048点数据集。FFT具有4 Hz/bin的分辨率，HRFT计算了41个点，分辨率为0.2Hz/bin。显然，41点的HRFT3比3点FFT的图更平滑。数据集的主要频率为2265Hz，据此我们可以看出HRFT方法准确定位了频率峰值，而用FFT定位的峰值则偏离了1Hz。为了利用FFT获得同样好的分辨率，必须添加零，以达到65,536个点的序列长度。
如果你只是对计算小频率范围上的频谱有兴趣，那HRFT可能比FFT更有效。频率范围越窄，HRFT的吸引力就越大。当必须利用有限的存储资源在嵌入式系统中执行运算时，这一点尤为明显。