求助：谁能帮忙解一下题目

fustic

对线性多自由度振动系统，如何证明Rayleigh商R(x)={x}T[K]{x}/{x}T[M]{x}  ({x}T表示{x}的转置）介于系统最低和最高固有频率的平方和之间。

马上要考试了，求助各位大侠帮忙！谢谢

dudulook

首先你要明白振型的概念！其实任何一个列向量（相应向量）都可以表示成所有正则振型的线性叠加：即任意一个向量x=c1x1+c2x2+....+cnxn 其中x1,x2,xn 为正则振型向量！
{x}T[M]{x}=c1^2+c2^2+....+cn^2
{x}T[k]{x}=c1^2×p1^2+c2^2×p2^2+....+cn^2×pn^2 , p1,p2,pn为各阶固有频率,p1<p2<...<pn
则{x}T[k]{x}/{x}T[M]{x}=(c1^2×p1^2+c2^2×p2^2+....+cn^2×pn^2)/(c1^2+c2^2+....+cn^2) 由简单的推导即可得： p1^2<={x}T[k]{x}/{x}T[M]{x}<=pn^2
希望我说的够清楚！：）

fustic

十分感谢！
就是{x}T[k]{x}=c1^2×p1^2+c2^2×p2^2+....+cn^2×pn^2 , p1,p2,pn为各阶固有频率,p1<p2<...<pn   这个等式怎么得来的看不明白，其他的都清楚了，还请指教。

dudulook

其实任何一个列向量（相应向量）都可以表示成所有正则振型的线性叠加：即任意一个向量x=c1x1+c2x2+....+cnxn 其中x1,x2,xn 为正则振型向量！
{x}T[M]{x}=c1^2+c2^2+....+cn^2
{x}T[k]{x}=c1^2×p1^2+c2^2×p2^2+....+cn^2×pn^2 , p1,p2,pn为各阶固有频率,p1<p2<...<pn
则{x}T[k]{x}/{x}T[M]{x}=(c1^2×p1^2+c2^2×p2^2+....+cn^2×pn^2)/(c1^2+c2^2+....+cn^2) 由简单的推导即可得： p1^2<={x}T[k]{x}/{x}T[M]{x}<=pn^2
ps：
你明白正则振型的概念要！对于任意一阶正则振型xi  ，{xi}T[M]{xi}表示第i阶主质量，等于1。
而{xi}T[k]{xi}表示第i阶主刚度，由第i阶固有频率的平方等于第i阶主刚度与第i阶主质量的比值得：pi^2={xi}T[K]{xi}/{xi}T[M]{xi}={xi}T[k]{xi} /1={xi}T[k]{xi} ,所以就可以得到
{x}T[k]{x}=c1^2×p1^2+c2^2×p2^2+....+cn^2×pn^2 ,（你要自己算一下的 其实就是向量的乘法就可以得到结果了）

fustic

十分感谢！这下搞清楚了。