求助有关稳定性和hopf分岔图的一个简单的方法

wlxydgq

本人不是数学专业的，但是需要分析非线性方程（组）的稳定性，还要画出它的分岔图来，看了一些书籍，一个字，晕！全是数学思维的东西，我不是说数学的东西不好，而是太深了，而且数学专业的书它的脉络和思路感觉和别的学科真的差别很大。
      所以，就想建议高手们，能否总结一下，适用于别的学科应用的，步骤或思路，会用就可以呀。当然，基本的的知识还是要学习的！
      比如：1、怎样判断方程的稳定性，稳定性的好坏；闭轨曲线和极限环的区别；稳定性和极限环及极限环数量的关系。2、在不求解的情况下，是否可以知道方程是否振荡，振荡和列的方程有什么关系。3、分岔的概念很多，有什么区别，什么情况下产生什么分岔；怎么样判断这个分岔点属于什么分岔；怎么样画出分岔图，尤其是hopf分岔，画图的具体步骤是怎么样的呢。
      呵呵，也许有人说我比较懒，唉，自己实在看不懂专业的书籍，另外我想，如果领悟了以上的基本知识，对于以后学习专业书籍也有帮助。也许有人会说，如果回答了这么多的问题，就够出本书了。我觉得对于好多人而言，需要的是怎么用就可以了，所以不需要很严密的思想。老师曾跟我们说过，数学专业的人看到一个方程，想的是它是否有解，而我们学物理的在想怎么才能解它。现在多少有点体会了。

      先谢过各位了，企盼早日见到这些精华！！！！！！

wlxydgq

另外，如果有了，我会整理出来，希望版主放到精华贴子里，让人学习方便使用方便。

咕噜噜

问题太大了啊，不好总结，因为非线性问题本来就还没很完善
不过我们会尽力整理一些出来，希望能对大家有所帮助，也欢迎你的参与

无水1324

你这些问题我全部回答对的话，我马上就可以出一本书叫着《分岔与稳定性》。没有能力所以只能给你提点建议。我们这里大部分都不是学数学的，但是绝大多数都是在做振动。

   做非线性你首先要了解你的模型、你的系统，是个什么样子的？自治的、非自治的。还是参数激励等等。明白了这个你就可以开始着手分析了。分析首先要学方法，这里面方法很多但是一般的都是基于自治系统的稳定性分析。如LS方法、中心流行、奇异等等。分岔的种类也有很多，平衡点的分岔、闭轨分岔、同宿异宿分岔等。这些你要看具体的一下理论的书。每一个小点都可以说几天几夜的，..................！

octopussheng

楼主提的问题实在是太广了，要都写出来我看出本书都够了，呵呵，建议你还是把下面基本书啃一啃啦

《分岔与稳定性》
《非线性动力学中的现代分析方法》
《分岔与混沌理论及其应用》

liuxiangf

楼主的问题确实很大。但是，你所提出来的可能是搞非线性振动的一个基本问题的集合。搞懂了这些问题，你就从门外进入门内了。我也希望学会这些内容，可是谈何容易啊。
但是，我觉得现在的主要问题可能还是没有合适的书籍和论文。在我们现在能够找到的书籍中，好多书籍对于关键的问题都是讳莫如深。而且单纯搞数学的人擅于着藤一堆公式或者搞一系列严谨的推导。很少有人把适用于工科的解决方法系统性地，简单明了地给出来。
我认为，论文要多读外文文献（特别是外国作家的），或者是多看看国内大家的处女作或者初期的论文。如果有可能，在学习基础性的东西的时候，最好还是能够找到经典原作。比如，我现在在努力攻读Poincare映射的建立方法，可是，手头的资料基本上没有系统性介绍起建立方法的。

vib

知道的朋友就给出点回答吧，大家一起讨论，一起弄懂这些东西吧，很多文献确实不好懂。

空山长风

看看奇异性理论，极限环理论这些可以解决你的一些问题
分岔：焦点分岔 极限环分岔 同宿异宿轨分岔
HOPF分岔对应的是焦点分岔  极限环分岔是庞加莱分岔
涉及到高维的就需要降维，LS方法  中心流形 ，维数大了只是理论上可行，实际上没有可操作性。
函数表达式过于复杂的时候可以用PB范式和级数展开等化简
判断极限环有一些成型的理论处理平面问题：后继函数法 旋转向量法 变分法 级数展开法  庞加莱法等等
数学画图（现在基本都是做平面哈密顿系统的）：
               1 找奇异点
               2 判断奇异点类型及奇异点周围是否有极限环 同宿异宿轨道，以及是否稳定
               3 判断极限环和同宿异宿轨是否破裂，分出极限环 分出几个，是否稳定
               3 画出全局极限环分布图
工程画图： 1 数值方法加庞加莱映射
                2奇异性理论画图

极限环分岔里面有一个希尔波特第十六问题的弱化问题，现在没有解决，有兴趣可以看看

[ 本帖最后由 无水1324 于 2007-11-4 17:41 编辑 ]

无水1324

极限环分岔里面有一个希尔波特第十六问题的弱化问题，现在没有解决，有兴趣可以看看

能否提供以下参考文献或者出处？

无水1324

说得很好，但是对于新手来说已开始可能会遇到：
1、LS、中心流性方法具体怎么计算，具体的步骤是什么？学数学的要求一般性格规律性所以说得比较笼统，这个不适合初学者看懂；
2、Hopf分岔是一个典型的分岔问题。但是什么是Hopf分岔确很难确定，Hopf分岔有三个假设条件，满足的时候是Hopf分岔，不满足的时候又出现了退化Hopf分岔(这点我只在一本书上看到，还没有得到准确的答案)。这些退化与非退化之间的区别是个什么样的表现形式，这个还是不清楚。
3、判断极限环的数量，这个问题可能有点难，因为这个问题到现在都是个难题、也一直有人在做，不过主要是以2次平面系统为主体。对于具体的问题可能还需要一定的简化和转换。

octopussheng

无水说的这些问题确实都是很大的问题，但是我们这里也不可能说的面面俱到，这些东东还是需要自己去看书、去理解的哦！呵呵！不过你这里也是为从事定性分析的朋友指出方向了！