weixin 发表于 2017-9-27 14:47

matlab频谱分析时的若干问题解释及几种频谱的理解

作者:jbb0523(彬彬有礼)

  本文主要说明以下几个问题:
  在matlab中如何表示频率为f1,以采样率f抽样后所得到的数字信号?如此表示的依据是什么?
  使用matlab画出的频谱(一般是幅度谱或称振幅谱)的横坐标轴的意义是什么?如何根据横坐标轴的值得到其所对应的实际频率?
  实数序列的频谱除第零个点和第N/2个(当N为偶数时)点外(从0~N-1),其它具有共轭对称性质;复数序列呢?
  频率分辨率指的是什么?高分辨谱和高密度谱有何区别?有何作用?

  约定:对于信号cos(ωt),它是以周期为2π/ω为周期的信号,角频率ω=2πf,我们经常这样称呼这个信号:它的角频率为ω,频率为fHz,周期T=1/f秒;

  一、信号采样问题

  在matlab中对以下信号进行采样:
  其中f1 = 1000Hz,根据奈奎斯特采样定理,采样频率f ≥ 2f1,在此我们取f = 3000Hz。

  在matlab中仿真也好,实际中处理的信号也罢,一般都是数字信号。而采样就是将信号数字化的一个过程,设将信号s1(t)数字化得到信号:
  其中n=,N为采样点数。

  我们来解释一下s1(n),为什么说上式表示以采样率f对频率为f1的信号进行采样的结果呢?采样,顾名思义,就是对信号隔一段时间取一个值,而隔的这段时间就是采样间隔,取其倒数就是采样率了。

  那们我们看上式,将前面的参数代入:
  当n=0时:
  当n=1时:
  当n=2时:
  当n=3时:
  这是不是相当于对信号s1(t)的一个周期内采了三个样点呢?对一个频率为1000Hz的信号每周期采三个样点不就是相当于以3倍于频率的采样率进行采样呢?注意,当n=3时相当于下一个周期的起始了。

  我们取采样点数N=64,即对64/3=21.3个周期,共计64/3/f1=21.3ms时长。

  我们在matlab中输入以下命令:
  >> n=0:63;
  >> f1=1000;f=3000;
  >> s1=cos(2*pi*f1/f*n);
  >> plot(abs(fft(s1)));


  下面我们对图1进行一下解释,以说明图中的横坐标轴的所代表的意义。

  对于信号:
  我们知道它的傅里叶变换是:
  如果在-2π×3000/2 ~ 2π×3000/2范围内观察信号s1(t)的频谱,则应该在2π×1000和-2π×1000两个频点上有两根谱线,而对采样后的数字信号,频率坐标轴范围-2π×3000/2 ~ 2π×3000/2将被归一化到-2π×(3000/2)/3000 ~ 2π×(3000/2)/3000即-π ~ π范围内,因此将在2π×1000/3000和-2π×1000 /3000即2π/3和-2π/3的两个频点上有两根谱线。注意,此时坐标轴上的2π代表着3000Hz的频率范围。

  另外还有一点应该明白的是,时域采样意味着频域的周期延拓,即-π ~ π上的谱线与-π+M×2π ~π+M×2π范围内的谱线是一模一样的,其中M为任意的整数。更通俗的说,a ~ b之间的频谱与a+M×2π ~ b+M×2π之间的频谱是一模一样的。因此-π ~ 0之间的频谱与π ~ 2π之间的频谱是一样的。

  在matlab中,如果仅简单的执行plot绘图命令,坐标横轴将是1 ~ N,那么这1 ~ N代表着什么呢?是的,应该代表0×2π,应用到上面的例子即是0~3000Hz的频率范围。

  其中1 ~ N/2代表0 ~ π,而N/2 ~ N代表-π ~ 0。

  从理论上讲,对于
  应该在1000Hz和-1000Hz两个频点上有两根线,即应该在x1(其中x1×(3000/2) /(64/2)=1000,解得x1=21.3)上和64-x1上有两根谱线。观察图1可知,两个峰值大约对应横轴坐标为21和43=64-21两个点。

  若令:
  则傅里叶变换是:

  在matlab中执行以下命令:
  >> n=0:63;
  >> f1=1000;f=3000;
  >> s2=sin(2*pi*f1/f*n);
  >> plot(abs(fft(s2)));

  则可得其频谱,如图2所示:

  由图可得两个峰值的位置基本与图1相同,这由其傅里叶表达式也可以得出此结论。

  以上分别说明了余弦和正弦的频谱,而且余弦和正弦均是实数序列,实数序列的离散傅里叶变换(DFT)具有共轭对称性质(此性质可百度或查阅数字信号处理相关书籍或自行推导,很简单的),这从图中也可以看出。(画图时取其模值,共轭取模与原先数取模将变成相等)

  二、复数的频谱

  若令
  则计算其傅里叶变换可得:

  因此频谱中将只有一根谱线。在matlab中输入以下命令:
  >> n=0:63;
  >> f1=1000;f=3000;
  >> s3=cos(2*pi*f1/f*n)+j*sin(2*pi*f1/f*n);
  >> plot(abs(fft(s3)));

  从图3可以看出,对于一个复数序列求频谱,它的幅度谱将不再是对称的两根谱线。其实经过类似于实数序列的推导可以得出,复数序列的频谱将不再具有类似于实数序列的共轭对称性质。

  当ω1为负值时会如何呢?同样对于信号:
  输入以下命令计算它的频谱:
  >> n=0:63;
  >> f1=-1000;f=3000;
  >> s4=cos(2*pi*f1/f*n)+j*sin(2*pi*f1/f*n);
  >> plot(abs(fft(s4)));

  对比图3和图4可知,当频率为正值时,峰值将在1 ~ 32范围内;而当频率为负值时,峰值将在33 ~ 64之间。此性质可通俗的描述如下:

  对于信号:
  对其进行符合奈奎斯特采样定理的采样,设采样率为fs,采样点数为N,得到数字信号s(n),n = ,则对s(n)做DFT变换进行谱分析后得到S(k),k = 。观察S(k)的幅度谱,若k= 0 ~ N/2-1之间有峰值,则s(t)的频率f在0 ~ fs/2之间;若k = N/2 ~ N-1之间有峰值,则s(t)的频率f在-fs/2 ~ 0;并且有且只有一个峰值。

  设幅度谱峰值当k = k1时出现,则s(t)的频率为:

  三、频率分辨率

  频率分辩率是指频域取样中两相邻点间的频率间隔。更确切的说是如果某一信号含有两个频率成分f1和f2,Of = |f2-f1|,频率分辨率的概念是如果频率分辨率大于Of,对信号进行谱分析后将不能视别出其含有两个频率成分,这两个频率将混叠在一起。

  以下是摘自华科姚天任《数字信号处理(第二版)》第92页的一段:

  现在我们设定信号:
  其中ω1=2π×1000,ω2=2π×1100,在matlab中输入以下命令计算其频谱:
  >> n=0:63;
  >> f1=1000;f2=1100;f=3000;
  >> s5=cos(2*pi*f1/f*n)+sin(2*pi*f2/f*n);
  >> plot(abs(fft(s5)));


  从图5中可以看出能够分辨出f1 = 1000Hz和f2 = 1100Hz两个频率分量。我们利用上面的理论来计算一下此时的频率分辨率:

  采样频率fs = 3000Hz
  采样点个数N = 64
  最长记录长度tp = N×(1/fs)
  频率分辨率F = 1/tp = fs/N = 3000/64 =46.875Hz


  因为F < f2-f1 = 100Hz,因此能够分辨出两个频率分量。下面我们作如下尝试:

  第一种尝试:fs不变仍为3000Hz,即奈奎斯特定理仍然满足,大于信号s5(t)的最高频率分量1100Hz的两倍,但将采样点个数N减小为24个,在matlab中输入以下命令:
  >> n=0:23;
  >> f1=1000;f2=1100;f=3000;
  >> s5=cos(2*pi*f1/f*n)+sin(2*pi*f2/f*n);
  >> plot(abs(fft(s5)));

  第二种尝试:采样率fs升为8000Hz,即满足奈奎斯特采样定理,大于信号s5(t)的最高频率分量1100Hz的两倍,采样点个数N不变,仍为64个,在matlab中输入以下命令:
  >> n=0:63;
  >> f1=1000;f2=1100;f=8000;
  >> s5=cos(2*pi*f1/f*n)+sin(2*pi*f2/f*n);
  >> plot(abs(fft(s5)));

  由图6和图7可以看出,这两种尝试虽然满足奈奎斯特采样定理,但都不能分辨出两个频率分量,用前面的理论知识可以作如下分析:

  第一种尝试的频率分辨率:
  第二种尝试的频率分辨率:
  因此以上两种尝试均不能分辨出频率间隔为100Hz的两个频率分量。

  四、高密度谱的概念

  如图6所示,频谱很不平滑,呈很明显的折线状态,我们在matlab中输入以下命令:
  >> n=0:23;
  >> f1=1000;f2=1100;f=3000;
  >> s5=cos(2*pi*f1/f*n)+sin(2*pi*f2/f*n);
  >> plot(abs(fft()));

  图8是将图6中的信号在时域补了104个零后才进行谱分析的。比较图6与图8,虽然相对于图6来说图8的频率分辨率并没有增加,但其每个点所代表的频率更小了,也就是密度更高了(同样3000Hz的频率,图6中使用了24点,而图8中使用了128点),这就是高密度谱。

  通常可以靠补零的方式来提高频谱的密度,但补零不能提高频率分辨率。很多人在此很迷惑,在末尾加零后,使一个周期内的点数增加,必然使样点间隔更近,谱线更密,是以前看不到的谱分量就可以看到了,能够看到更多的谱,不是提高分辨力了吗?

  其实加零后,并没有改变原有记录的数据,原有数据的频谱一开始就存在,我们只是有的看不见,加零后只是让我们看见原来本就存在的频率,也就是说,原始数据代表的该有的频率就有,没有的频率加再多的零(极限是成连续的),也没法看见。

  在数字信号处理中,高分辨率谱和高密度谱是较为易混淆的两个概念。获得高分辨率谱的途径是增加信号采样的记录时间tp,而高密度谱则是通过在时域补零得到的。高分辨谱的用途很显示,可以分辨出频率间隔更小的两个频率分量,那么高分辨率谱有什么作用呢?

  要想明白高密度谱的概念,就不得知道一个名词:栅栏效应。高分辨率谱就是为了减小栅栏效效的。实际信号是无限长的,其频谱是连续的,但是要用计算机对信号进行频谱分析,就必须把它截短使之成为有限长度为tp的信号,这样的截短相当于对信号加矩形窗。

  经过加窗截取,信号的周期变为tp,其频谱相应地由原来的连续谱变为离散谱,离散谱的谱线只在f = 1/tp的整数倍的位置上才出现,于是谱线间的实际信号的谱线有可能被挡住而损失掉,这称之为栅栏效应。例如截取信号长度为tp=0.5s,则可得到的谱线为2Hz,4Hz,6Hz,8Hz,…,若信号中包含频率为7Hz的分量,则该分量将被栅栏挡住,无法显示出来。

  参考文献:
  姚天任.数字信号处理(第二版).华中科技大学出版社,2000.
  万灵达.基于FFT的高精度频率估计算法研究.西安电子科技大学,2010.
  其它网络资源.

原文链接:http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/7283847
本文内容来源于CSDN博客:彬彬有礼的专栏,作者:jbb0523(彬彬有礼)。

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