weixin 发表于 2017-11-10 16:42

声学波动方程及平面声波的基本性质简介

  声学波动方程  声压随空间和时间变化的函数关系,称为声学波动方程。声波动作是一种宏观的物理现象,必然要满足以下三个基本物理定律:
        · 牛顿第二定律
        · 质量守恒定律
        · 热力学定律

  运用以上定律,可以分别推导出媒质的运动方程、连续性方程和物态方程。

  运动方程
  连续性方程
  物态方程
  由上述三个方程可得一维线性声学波动方程为
  同理可得三维线性声学波动方程为
  如各方向辐射相等,一维球坐标的声学波动方程为
       以上波动方程都是在忽略了二阶以上微量得到的,故为线性波动方程。当声压级很高时,声压和质点速度的幅值相对于大气压力和声速来说,已不能忽略不计,在这种情况下,线性化条件不能成立。但是,在工程领域中,线性化条件时满足的。

  平面声波的基本性质  波动方程的解:

  设一维平面声波波动方程
  其解为:
  其中,ω为声源简谐振动的圆频率。

  带入波动方程得:
  式中k=ω/c0称为波数。解上述常微分方程,可得复数解为:
  式中,A、B为常数,由边界条件确定。

  设:
  结合上式,可得:
  式中第一项表示沿正x方向行进的波,第二项表示沿负x方向行进的波。

  当声波传播途径上没有反射体时,没有反射波的出现,于是B=0,上式简化为
  当t=0 ,x=0 时,在媒质中产生的声压为pA=A,于是声压场中的声压为
  代入运动方程中,可得
  式中

  平面声场的特性:

  由平面声场中声压方程和质点速度方程来分析平面声场的特性:
  1. 第一个方程(声压方程)代表沿正x方向行进的波。

  设t=t0时,声波位于x=x0处;t=t0+Δt时刻,声波传到x处。
  代入声压方程可得:
  由此可知,当t=t0+Δt时,位于x=x0+Δx处的声压等于当t=t0时位于x=x0时的声压,这表明,整个波形向前移动了一段距离,其值为
  此式表征了沿x方向行进的波,为正向波。

  2. 平面声波的波阵面是平面

  在某一瞬时t0,位向φ0相同的各媒质质点的轨迹为波阵面。
  解得
  这种声波在传播过程中,等相位面是平面,称为平面波。平面声场任何位置处,声压和质点速度均是同相位的。

  3. 声波以速度c0向外传播,质点在平衡位置附近来回振动

  声波以速度c0向外传播,但是并不意味着媒质质点也以该速度传至远方。

  由
  可得,质点位移为
  任意位置x=x0处,质点的位移为
  式中,ξ和a都是常数,可见,质点只是在平衡位置附近来回振动。

  4. 平面声波在传播过程中声能不衰减

  平面声波在均匀的理想媒质中传播时,由于无粘性存在不会发生能量的耗损,所以声压幅值,质点速度幅值都是不随距离而改变的常数,也就是说声波在传播的过程中不会有任何衰减。

  同时,平面声波传播时波阵面不会扩大,因而能量不会随距离的增加而分散。

  5. 声阻抗率和媒质的特性阻抗
  声阻抗率:媒质某一点的声压与质点速度的比值
  声阻抗率一般时复数,实部称为声阻率,虚部称为声抗率。

  实数部分反映了能量的损耗,但是,它代表的不是能量转化为热,而是代表着能量从一处向另一处的转移,即“传递耗能”。

  将声压方程和速度方程代入声阻抗率方程
  得平面前进声波的声阻抗率为
  类似得平面反射声波的声阻抗率为
  由此可见,在平面声场中,各位置声阻抗率的数值相同,且为一实数。说明在平面声场中各位置上均无能量的贮存,前一位置的能量可以完全传播到后一位置上去。

  ρ0c0称为媒质的特性阻抗,其单位为瑞利(Ns/m3)

  由于平面声波的声阻抗率与特性阻抗相等,说明平面声波处处与媒质的特性阻抗相匹配。

  来源:节选自《工程声学基础》讲义
  作者:华中科技大学 黄其柏 教授

页: [1]
查看完整版本: 声学波动方程及平面声波的基本性质简介