声学波动方程及平面声波的基本性质简介

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　　声学波动方程

　　声压随空间和时间变化的函数关系，称为声学波动方程。声波动作是一种宏观的物理现象，必然要满足以下三个基本物理定律：
　　      · 牛顿第二定律
　　      · 质量守恒定律
　　      · 热力学定律

　　运用以上定律，可以分别推导出媒质的运动方程、连续性方程和物态方程。

　　运动方程

　　连续性方程

　　物态方程

　　由上述三个方程可得一维线性声学波动方程为

　　同理可得三维线性声学波动方程为

　　如各方向辐射相等，一维球坐标的声学波动方程为

       以上波动方程都是在忽略了二阶以上微量得到的，故为线性波动方程。当声压级很高时，声压和质点速度的幅值相对于大气压力和声速来说，已不能忽略不计，在这种情况下，线性化条件不能成立。但是，在工程领域中，线性化条件时满足的。

　　平面声波的基本性质

　　波动方程的解：

　　设一维平面声波波动方程

　　其解为：

　　其中，ω为声源简谐振动的圆频率。

　　带入波动方程得：

　　式中k=ω/c0称为波数。解上述常微分方程，可得复数解为：

　　式中，A、B为常数，由边界条件确定。

　　设：

　　结合上式，可得：

　　式中第一项表示沿正x方向行进的波，第二项表示沿负x方向行进的波。

　　当声波传播途径上没有反射体时，没有反射波的出现，于是B=0，上式简化为

　　当t=0 ，x=0 时，在媒质中产生的声压为pA=A，于是声压场中的声压为

　　代入运动方程 中，可得

　　式中

　　平面声场的特性：

　　由平面声场中声压方程和质点速度方程来分析平面声场的特性：

　　1. 第一个方程(声压方程)代表沿正x方向行进的波。

　　设t=t0时，声波位于x=x0处;t=t0+Δt时刻，声波传到x处。

　　代入声压方程可得：

　　由此可知，当t=t0+Δt时，位于x=x0+Δx处的声压等于当t=t0时位于x=x0时的声压，这表明，整个波形向前移动了一段距离，其值为

　　此式表征了沿x方向行进的波，为正向波。

　　2. 平面声波的波阵面是平面

　　在某一瞬时t0，位向φ0相同的各媒质质点的轨迹为波阵面。

　　解得

　　这种声波在传播过程中，等相位面是平面，称为平面波。平面声场任何位置处，声压和质点速度均是同相位的。

　　3. 声波以速度c0向外传播，质点在平衡位置附近来回振动

　　声波以速度c0向外传播，但是并不意味着媒质质点也以该速度传至远方。

　　由

　　可得，质点位移为

　　任意位置x=x0处，质点的位移为

　　式中，ξ和a都是常数，可见，质点只是在平衡位置附近来回振动。

　　4. 平面声波在传播过程中声能不衰减

　　平面声波在均匀的理想媒质中传播时，由于无粘性存在不会发生能量的耗损，所以声压幅值，质点速度幅值都是不随距离而改变的常数，也就是说声波在传播的过程中不会有任何衰减。

　　同时，平面声波传播时波阵面不会扩大，因而能量不会随距离的增加而分散。

　　5. 声阻抗率和媒质的特性阻抗
　　声阻抗率：媒质某一点的声压与质点速度的比值

　　声阻抗率一般时复数，实部称为声阻率，虚部称为声抗率。

　　实数部分反映了能量的损耗，但是，它代表的不是能量转化为热，而是代表着能量从一处向另一处的转移，即“传递耗能”。

　　将声压方程和速度方程代入声阻抗率方程

　　得平面前进声波的声阻抗率为

　　类似得平面反射声波的声阻抗率为

　　由此可见，在平面声场中，各位置声阻抗率的数值相同，且为一实数。说明在平面声场中各位置上均无能量的贮存，前一位置的能量可以完全传播到后一位置上去。

　　ρ0c0称为媒质的特性阻抗，其单位为瑞利(Ns/m3)

　　由于平面声波的声阻抗率与特性阻抗相等，说明平面声波处处与媒质的特性阻抗相匹配。

　　来源：节选自《工程声学基础》讲义
　　作者：华中科技大学 黄其柏 教授