几种经典功率谱估计方法的实现（Matlab）及其局限性
功率谱估计在分析平稳各态遍历随机信号频率成分领域被广泛使用，并且已被成功应用到雷达信号处理、故障诊断等实际工程中。本文给出了经典功率谱估计的几类方法，并通过Matlab的实验仿真对经典功率谱估计方法性能进行了分析，最后说明了经典功率谱估计法的局限性和造成这种局限性的原因。给定一个标准的正弦信号，我们可以通过傅里叶变换来分析它的频率成分。然而，实际工程应用中，由于存在着各种干扰、噪声，我们得到的信号往往不是理想的，如图1这种信号，具有不确定性，幅度不能预知，非周期，但往往服从一定的统计特性，这种信号叫作随机信号。需要注意的是，本文所说的随机信号是指平稳各态遍历的随机信号，关于非平稳随机信号的分析方法本文不予讨论。
图1 一种随机信号时域形式
对于图1的随机信号，我们可以通过功率谱来分析它的频率成分，如图2所示为图1随机信号的功率谱。实际过程中，我们只能获得随机信号的一些离散数据点(假设为N个)，本文将讨论如何利用这N个数据点，来得到一个"非精确"的功率谱来对真实随机信号的功率谱进行估计，并讨论如何更好的估计。
图2 随机信号功率谱
在介绍具体的功率谱估计方法之前，首先来来接一下如何来评价我们得出的这个"非精确"的功率谱的好坏呢?
评价功率谱性能好坏的标准有很多，本文只给出两个影响最大的标准：分辨率和方差。分辨率即功率谱上能够区分的最小相邻频率成分，分辨率越高，我们观察信号的频率成分越清晰;方差大小则反映到功率谱波动性的大小，如果方差太大，功率谱波动性大，则很容易造成有用的频率成分被噪声淹没。所以，我们希望得到的这个"非精确"的功率谱，分辨率越高越好，方差越小越好。
同时，我们给出概率论与数理统计中所学的一致估计和非一致估计的概念，假定真实信号的功率谱为S(w)，则满足一致估计的条件是，估计得到的"非精确"功率谱符合以下公式：
一、周期图法 已知N个离散的数据点uN(n)，对这些数据点进行傅里叶变换，可得到：
再对上式取模的平方，除以N，即可得到一个"非精确"的谱，如下式，这就是周期图法的原理。
下面我们通过Matlab仿真来分析采样点数N对功率谱性能好坏的影响。我们在Matlab中通过三个正弦函数和白噪声叠加，构造了一个随机信号。其数学形式如下式：
其中频率分别为50Hz、125Hz、135Hz，幅值分别为1、1.5、1，相位为相互独立在[-π，π]上服从均匀分布随机相位，v(n)为均值为0，方差为1的实值高斯白噪声，采样频率为1000。信号的时域形式如图3所示。
图3 实验所用的随机信号
采样点数N分别取128、256、512和1024，周期图法matlab代码如下：
Fs=1000;
f1=50;f2=125;f3=135;N=128;Nfft=N;n=0:N-1;t=n/Fs;%采用的时间序列xn=cos(2*pi*f1*t)+1.5*cos(2*pi*f2*t)+cos(2*pi*f3*t)+1.5*randn(size(n));figure;plot(n,xn);grid on;title('时域信号');P=10*log10(abs(fft(xn,Nfft).^2)/N);%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dBf=(0:length(P)-1)*Fs/length(P);%给出频率序列figure;plot(f(1:N/2),P(1:N/2));grid on;title('功率谱（dB图）');ylabel('功率谱/dB');xlabel('频率/Hz');Pxx=abs(fft(xn,Nfft).^2)/N;%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dBf=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);%给出频率序列figure;plot(f(1:N/2),Pxx(1:N/2));%绘制功率谱曲线xlabel('频率/Hz');ylabel('功率谱');title('周期图 N=128');grid on;std(Pxx)^2
N=256;Nfft=N;n=0:N-1;t=n/Fs;%采用的时间序列xn=cos(2*pi*f1*t)+1.5*cos(2*pi*f2*t)+cos(2*pi*f3*t)+1.5*randn(size(n));figure;plot(n,xn);grid on;title('时域信号');P=10*log10(abs(fft(xn,Nfft).^2)/N);%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dBf=(0:length(P)-1)*Fs/length(P);%给出频率序列figure;plot(f(1:N/2),P(1:N/2));grid on;title('功率谱（dB图）');ylabel('功率谱/dB');xlabel('频率/Hz');Pxx=abs(fft(xn,Nfft).^2)/N;%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dBf=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);%给出频率序列figure;plot(f(1:N/2),Pxx(1:N/2));%绘制功率谱曲线xlabel('频率/Hz');ylabel('功率谱');title('周期图 N=256');grid on;std(Pxx)^2
N=512;Nfft=N;n=0:N-1;t=n/Fs;%采用的时间序列xn=cos(2*pi*f1*t)+1.5*cos(2*pi*f2*t)+cos(2*pi*f3*t)+1.5*randn(size(n));figure;plot(n,xn);grid on;title('时域信号');P=10*log10(abs(fft(xn,Nfft).^2)/N);%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dBf=(0:length(P)-1)*Fs/length(P);%给出频率序列figure;plot(f(1:N/2),P(1:N/2));grid on;title('功率谱（dB图）');ylabel('功率谱/dB');xlabel('频率/Hz');Pxx=abs(fft(xn,Nfft).^2)/N;%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dBf=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);%给出频率序列figure;plot(f(1:N/2),Pxx(1:N/2));%绘制功率谱曲线xlabel('频率/Hz');ylabel('功率谱');title('周期图 N=512');grid on;std(Pxx)^2
N=1024;Nfft=N;n=0:N-1;t=n/Fs;%采用的时间序列xn=cos(2*pi*f1*t)+1.5*cos(2*pi*f2*t)+cos(2*pi*f3*t)+1.5*randn(size(n));figure;plot(n(1:1000),xn(1:1000));grid on;title('时域信号');P=10*log10(abs(fft(xn,Nfft).^2)/N);%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dBf=(0:length(P)-1)*Fs/length(P);%给出频率序列figure;plot(f(1:N/2),P(1:N/2));grid on;title('功率谱（dB图）');ylabel('功率谱/dB');xlabel('频率/Hz');Pxx=abs(fft(xn,Nfft).^2)/N;%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dBf=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);%给出频率序列figure;plot(f(1:N/2),Pxx(1:N/2));%绘制功率谱曲线xlabel('频率/Hz');ylabel('功率谱');title('周期图 N=1024');grid on;std(Pxx)^2
以上代码可得到的功率谱分别如图4、图5、图6和图7所示。分辨率能够直观的通过功率谱图形看出，方差的数值由表1给出。
图4 N=128时周期图法得到的功率谱 图5 N=256时周期图法得到的功率谱 图6 N=512时周期图法得到的功率谱 图7 N=1024时周期图法得到的功率谱
表1 不同N值得到功率谱的方差值 通过上面实验结果的比较，我们很容易发现，周期图法得到的功率谱随着数据点数N的增大，分辨率变大、方差变也大。
二、平均周期图法 周期图法得到的功率谱与我们所期望的"分辨率大、方差小"是矛盾的。为了进一步降低方差，将N个观测样本数据点uN(n)分为L段，每段数据长度为M，分别对每段数据求周期图功率谱估计，然后求平均值，这种方法称平均周期图法。
那么这种方法会如何改善方差呢?下面给出证明：
其中：
由上我们可以看出，平均周期图法将原来的方差变为原来的1/L，L为分段数。
平均周期图法性能
取采样点数N为1024，分段数分别为8、4、2，平均周期图法的matlab代码如下：
clear;Fs=1000;f1=50;f2=125;f3=135;n=0:1/Fs:1;xn=cos(2*pi*f1*n)+1.5*cos(2*pi*f2*n)+cos(2*pi*f3*n)+1.5*randn(size(n));
N=1024;Nsec=512;%数据的长度和FFT所用的数据长度Pxx1=abs(fft(xn(1:512),Nsec).^2)/Nsec; %第一段功率谱Pxx2=abs(fft(xn(513:1000),Nsec).^2)/Nsec;%第二段功率谱Pxx=10*log10((Pxx1+Pxx2)/2);%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dB(std((Pxx1+Pxx2)/2))^2f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);%给出频率序列figure;plot(f(1:Nsec/2),Pxx(1:Nsec/2));%绘制功率谱曲线xlabel('频率/Hz');ylabel('功率谱/dB');title('N=2*512');grid on;
N=1024;Nsec=256;%数据的长度和FFT所用的数据长度Pxx1=abs(fft(xn(1:256),Nsec).^2)/Nsec; %第一段功率谱Pxx2=abs(fft(xn(257:512),Nsec).^2)/Nsec;%第二段功率谱Pxx3=abs(fft(xn(513:768),Nsec).^2)/Nsec;%第三段功率谱Pxx4=abs(fft(xn(769:1000),Nsec).^2)/Nsec;%第四段功率谱Pxx=10*log10((Pxx1+Pxx2+Pxx3+Pxx4)/4);%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dBstd((Pxx1+Pxx2+Pxx3+Pxx4)/4)^2f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);%给出频率序列figure;plot(f(1:Nsec/2),Pxx(1:Nsec/2));%绘制功率谱曲线xlabel('频率/Hz');ylabel('功率谱/dB');title('N=4*256');grid on;
N=1024;Nsec=128;%数据的长度和FFT所用的数据长度Pxx1=abs(fft(xn(1:128),Nsec).^2)/Nsec; %第一段功率谱Pxx2=abs(fft(xn(129:256),Nsec).^2)/Nsec;%第二段功率谱Pxx3=abs(fft(xn(257:384),Nsec).^2)/Nsec;%第三段功率谱Pxx4=abs(fft(xn(385:512),Nsec).^2)/Nsec;%第四段功率谱Pxx5=abs(fft(xn(513:640),Nsec).^2)/Nsec; %第五段功率谱Pxx6=abs(fft(xn(641:768),Nsec).^2)/Nsec;%第六段功率谱Pxx7=abs(fft(xn(769:896),Nsec).^2)/Nsec;%第七段功率谱Pxx8=abs(fft(xn(897:1000),Nsec).^2)/Nsec;%第八段功率谱Pxx=10*log10((Pxx1+Pxx2+Pxx3+Pxx4+Pxx5+Pxx6+Pxx7+Pxx8)/8);%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dBstd((Pxx1+Pxx2+Pxx3+Pxx4+Pxx5+Pxx6+Pxx7+Pxx8)/8)^2
f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);%给出频率序列figure;plot(f(1:Nsec/2),Pxx(1:Nsec/2));%绘制功率谱曲线xlabel('频率/Hz');ylabel('功率谱/dB');title('N=8*128');grid on;
以上代码可得到的功率谱分别如图8、图9、图10所示。分辨率能够直观的通过功率谱图形看出，方差的数值由表2给出。
图8 L=8时平均周期图法得到的功率谱 图9 L=4时平均周期图法得到的功率谱 图10 L=2时平均周期图法得到的功率谱
表2 不同L值得到功率谱的方差值 L=1时，平均周期图法退化为周期图法。通过上面实验结果的比较，我们很容易发现，平均周期图法得到的功率谱随着分段数L变大，方差变小，但分辨率变小。
当观测样本序列数据个数N固定时，要降低方差需要增加分段数L。当N不大时分段长度M取值较小，则功率谱分辨率降低到较低的水平。若分段数L固定时，增加分辨率需要分段长度M，则需要采集到更长的检测数据序列。实际中恰恰是检测样本序列长度不足。
三、修正的平均周期图法 由于实际检测中样本序列长度是有限的。对现有数据长度N，如果能获得更多的段数分割，将会得到更小的方差。允许数据段间有重叠部分，来得到更多的段数。对段间重叠长度的选取，最简单是取为段长度M的一半。由平均周期图法可知更多的段数可以进一步降低方差。
数据截断的过程中相当于数据加矩形窗，矩形窗幅度较大的旁瓣会造成"频谱泄漏"。我们分段时采取的窗函数更为多样(三角窗,海明窗等), 以减小截断数据(加矩形窗)窗函数带来的影响。
修正平均周期图法的matlab代码如下：
分别采用矩形窗、Blackman窗和Hamming窗，上述代码可得到的功率谱如图11所示。
图11 不同窗函数的修正平均周期图法得到的功率谱
由上可以发现，矩形窗的分辨率最高，但是方差也最大，这是由于矩形窗频谱主瓣最窄，分辨率因此最高，旁瓣也高，导致频谱泄漏最严重，方差最大。
综而言之，周期图法获得的功率谱随着样本点数越多，分辨率越大、方差越大;平均周期图法以牺牲分辨率来进一步改善方差;修正的平均周期图法允许段的重叠来进一步增大分段数、或者分段数相同，每段样本点数变多。无论是哪种方法都没有彻底结局方差与分辨率之间的矛盾。
四、相关功率谱估计法-BT法 如前所述，要提高功率谱估计的分辨率，必须增加数据序列的长度N，但是较长的数据序列，由噪声引起的随机性得到更为充分的体现-较大的方差。事实上，当N无穷大时，方差为一非零常数，即周期图法无法实现功率谱的一致估计。下面我们来介绍相关功率谱估计法(BT法)，它是一致估计。
维纳辛钦定理指出，随机信号的相关函数与它的功率谱是一对傅里叶变换对。BT法就是基于这个原理。先由观测数据估计出自相关函数，然后求自相关函数的傅立叶变换，以此变换作为对功率谱的估计，也称为间接法。BT法要求信号长度N以外的信号为零，这是BT法的局限性。BT法可以表述为：
自相关函数：
功率谱：
取采样点数N分别为128、256、512和1024的BT法代码如下：
以上代码可得到的功率谱如图12、图13、图14和图15所示。
图2-10 N=128时，BT法得到的功率谱 图2-11 N=256时，BT法得到的功率谱 图2-12 N=512时，BT法得到的功率谱 图2-13 N=1024时，BT法得到的功率谱
由上面实验可以发现，M随着N的增大而增大时，分辨率提高，方差变大。BT法仍然没有解决分辨率与方差之间的矛盾，但是BT法得到的功率谱当N为无穷大时，方差会趋向于零，即为一致估计。
周期图法与BT法的关系 相关函数可以写成卷积形式：
设序列uN(n)的傅立叶变换为UN(ω)，则当M=N-1时，功率谱的估计可表示为：
上式可以看出周期图法可以看作BT法在取M=N-1时的特例。
结 论 本文通过Matlab仿真，以一个具体的随机信号为例，简单介绍了周期图法、平均周期图法、修正的平均周期图法以及BT法的基本原理，并对这些方法的性能进行分析。可以看出，无论是周期图法及其改进算法还是BT法都没有从根本上解决分辨率与方差的矛盾。
经典功率谱估计是利用傅里叶变换估计功率谱，而我们之前分析随机信号不满足傅里叶变换的条件，所以经典功率谱估计方法不得不从无限长数据点截取有限长数据点，加入限制条件(周期图法实际上假定N点外数据周期重复、BT法假定N点外数据为零)来"强制"作傅里叶变换，这也是造成它局限性的原因。
参考资料
朱哲,钟宏伟. 非平稳随机信号分析处理方法研究 安徽电子信息技术学院学报 2008.6:28-28
皇甫堪. 现代数字信号处理. 电子工业出版社
本文根据博客园lulujianjie的博文整理
原文：http://www.cnblogs.com/jacklu/p/5140913.html
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