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[综合讨论] 几种经典功率谱估计方法的实现(Matlab)及其局限性

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发表于 2018-1-25 16:15 | 显示全部楼层 |阅读模式

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  功率谱估计在分析平稳各态遍历随机信号频率成分领域被广泛使用,并且已被成功应用到雷达信号处理、故障诊断等实际工程中。本文给出了经典功率谱估计的几类方法,并通过Matlab的实验仿真对经典功率谱估计方法性能进行了分析,最后说明了经典功率谱估计法的局限性和造成这种局限性的原因。

  给定一个标准的正弦信号,我们可以通过傅里叶变换来分析它的频率成分。然而,实际工程应用中,由于存在着各种干扰、噪声,我们得到的信号往往不是理想的,如图1这种信号,具有不确定性,幅度不能预知,非周期,但往往服从一定的统计特性,这种信号叫作随机信号。需要注意的是,本文所说的随机信号是指平稳各态遍历的随机信号,关于非平稳随机信号的分析方法[1]本文不予讨论。
1.png
  图1 一种随机信号时域形式

  对于图1的随机信号,我们可以通过功率谱来分析它的频率成分,如图2所示为图1随机信号的功率谱。实际过程中,我们只能获得随机信号的一些离散数据点(假设为N个),本文将讨论如何利用这N个数据点,来得到一个"非精确"的功率谱来对真实随机信号的功率谱进行估计,并讨论如何更好的估计。
2.png
  图2 随机信号功率谱

  在介绍具体的功率谱估计方法之前,首先来来接一下如何来评价我们得出的这个"非精确"的功率谱的好坏呢?

  评价功率谱性能好坏的标准有很多,本文只给出两个影响最大的标准:分辨率和方差。分辨率即功率谱上能够区分的最小相邻频率成分,分辨率越高,我们观察信号的频率成分越清晰;方差大小则反映到功率谱波动性的大小,如果方差太大,功率谱波动性大,则很容易造成有用的频率成分被噪声淹没。所以,我们希望得到的这个"非精确"的功率谱,分辨率越高越好,方差越小越好。

  同时,我们给出概率论与数理统计中所学的一致估计和非一致估计的概念,假定真实信号的功率谱为S(w),则满足一致估计的条件是,估计得到的"非精确"功率谱符合以下公式:
3.png

  一、周期图法
  已知N个离散的数据点uN(n),对这些数据点进行傅里叶变换,可得到:
4.png
  再对上式取模的平方,除以N,即可得到一个"非精确"的谱,如下式,这就是周期图法的原理。
5.png
  下面我们通过Matlab仿真来分析采样点数N对功率谱性能好坏的影响。我们在Matlab中通过三个正弦函数和白噪声叠加,构造了一个随机信号。其数学形式如下式:
6.png
  其中频率分别为50Hz、125Hz、135Hz,幅值分别为1、1.5、1,相位为相互独立在[-π,π]上服从均匀分布随机相位,v(n)为均值为0,方差为1的实值高斯白噪声,采样频率为1000。信号的时域形式如图3所示。
7.png
  图3 实验所用的随机信号

  采样点数N分别取128、256、512和1024,周期图法matlab代码如下:
Fs=1000;
f1=50;
f2=125;
f3=135;
N=128;
Nfft=N;
n=0:N-1;
t=n/Fs;
%采用的时间序列
xn=cos(2*pi*f1*t)+1.5*cos(2*pi*f2*t)+cos(2*pi*f3*t)+1.5*randn(size(n));
figure;
plot(n,xn);
grid on;
title('时域信号');
P=10*log10(abs(fft(xn,Nfft).^2)/N);
%Fourier振幅谱平方的平均值,并转化为dB
f=(0:length(P)-1)*Fs/length(P);
%给出频率序列
figure;
plot(f(1:N/2),P(1:N/2));
grid on;
title('功率谱(dB图)');
ylabel('功率谱/dB');
xlabel('频率/Hz');
Pxx=abs(fft(xn,Nfft).^2)/N;
%Fourier振幅谱平方的平均值,并转化为dB
f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);
%给出频率序列
figure;
plot(f(1:N/2),Pxx(1:N/2));
%绘制功率谱曲线
xlabel('频率/Hz');
ylabel('功率谱');
title('周期图 N=128');
grid on;
std(Pxx)^2

N=256;
Nfft=N;
n=0:N-1;
t=n/Fs;
%采用的时间序列
xn=cos(2*pi*f1*t)+1.5*cos(2*pi*f2*t)+cos(2*pi*f3*t)+1.5*randn(size(n));
figure;
plot(n,xn);
grid on;
title('时域信号');
P=10*log10(abs(fft(xn,Nfft).^2)/N);
%Fourier振幅谱平方的平均值,并转化为dB
f=(0:length(P)-1)*Fs/length(P);
%给出频率序列
figure;
plot(f(1:N/2),P(1:N/2));
grid on;
title('功率谱(dB图)');
ylabel('功率谱/dB');
xlabel('频率/Hz');
Pxx=abs(fft(xn,Nfft).^2)/N;
%Fourier振幅谱平方的平均值,并转化为dB
f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);
%给出频率序列
figure;
plot(f(1:N/2),Pxx(1:N/2));
%绘制功率谱曲线
xlabel('频率/Hz');
ylabel('功率谱');
title('周期图 N=256');
grid on;
std(Pxx)^2

N=512;
Nfft=N;
n=0:N-1;
t=n/Fs;
%采用的时间序列
xn=cos(2*pi*f1*t)+1.5*cos(2*pi*f2*t)+cos(2*pi*f3*t)+1.5*randn(size(n));
figure;
plot(n,xn);
grid on;
title('时域信号');
P=10*log10(abs(fft(xn,Nfft).^2)/N);
%Fourier振幅谱平方的平均值,并转化为dB
f=(0:length(P)-1)*Fs/length(P);
%给出频率序列
figure;
plot(f(1:N/2),P(1:N/2));
grid on;
title('功率谱(dB图)');
ylabel('功率谱/dB');
xlabel('频率/Hz');
Pxx=abs(fft(xn,Nfft).^2)/N;
%Fourier振幅谱平方的平均值,并转化为dB
f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);
%给出频率序列
figure;
plot(f(1:N/2),Pxx(1:N/2));
%绘制功率谱曲线
xlabel('频率/Hz');
ylabel('功率谱');
title('周期图 N=512');
grid on;
std(Pxx)^2

N=1024;
Nfft=N;
n=0:N-1;
t=n/Fs;
%采用的时间序列
xn=cos(2*pi*f1*t)+1.5*cos(2*pi*f2*t)+cos(2*pi*f3*t)+1.5*randn(size(n));
figure;
plot(n(1:1000),xn(1:1000));
grid on;
title('时域信号');
P=10*log10(abs(fft(xn,Nfft).^2)/N);
%Fourier振幅谱平方的平均值,并转化为dB
f=(0:length(P)-1)*Fs/length(P);
%给出频率序列
figure;
plot(f(1:N/2),P(1:N/2));
grid on;
title('功率谱(dB图)');
ylabel('功率谱/dB');
xlabel('频率/Hz');
Pxx=abs(fft(xn,Nfft).^2)/N;
%Fourier振幅谱平方的平均值,并转化为dB
f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);
%给出频率序列
figure;
plot(f(1:N/2),Pxx(1:N/2));
%绘制功率谱曲线
xlabel('频率/Hz');
ylabel('功率谱');
title('周期图 N=1024');
grid on;
std(Pxx)^2

       以上代码可得到的功率谱分别如图4、图5、图6和图7所示。分辨率能够直观的通过功率谱图形看出,方差的数值由表1给出。
8.png
  图4 N=128时周期图法得到的功率谱
9.png
  图5 N=256时周期图法得到的功率谱
10.png
  图6 N=512时周期图法得到的功率谱
11.png
  图7 N=1024时周期图法得到的功率谱

  表1 不同N值得到功率谱的方差值
12.png
  通过上面实验结果的比较,我们很容易发现,周期图法得到的功率谱随着数据点数N的增大,分辨率变大、方差变也大。

  二、平均周期图法
  周期图法得到的功率谱与我们所期望的"分辨率大、方差小"是矛盾的。为了进一步降低方差,将N个观测样本数据点uN(n)分为L段,每段数据长度为M,分别对每段数据求周期图功率谱估计,然后求平均值,这种方法称平均周期图法。

  那么这种方法会如何改善方差呢?下面给出证明:
13.png
  其中:
14.png
  由上我们可以看出,平均周期图法将原来的方差变为原来的1/L,L为分段数。
  平均周期图法性能

  取采样点数N为1024,分段数分别为8、4、2,平均周期图法的matlab代码如下:
clear;
Fs=1000;
f1=50;
f2=125;
f3=135;
n=0:1/Fs:1;
xn=cos(2*pi*f1*n)+1.5*cos(2*pi*f2*n)+cos(2*pi*f3*n)+1.5*randn(size(n));

N=1024;
Nsec=512;
%数据的长度和FFT所用的数据长度
Pxx1=abs(fft(xn(1:512),Nsec).^2)/Nsec;
%第一段功率谱
Pxx2=abs(fft(xn(513:1000),Nsec).^2)/Nsec;
%第二段功率谱
Pxx=10*log10((Pxx1+Pxx2)/2);
%Fourier振幅谱平方的平均值,并转化为dB
(std((Pxx1+Pxx2)/2))^2
f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);
%给出频率序列
figure;
plot(f(1:Nsec/2),Pxx(1:Nsec/2));
%绘制功率谱曲线
xlabel('频率/Hz');
ylabel('功率谱/dB');
title('N=2*512');
grid on;

N=1024;
Nsec=256;
%数据的长度和FFT所用的数据长度
Pxx1=abs(fft(xn(1:256),Nsec).^2)/Nsec;
%第一段功率谱
Pxx2=abs(fft(xn(257:512),Nsec).^2)/Nsec;
%第二段功率谱
Pxx3=abs(fft(xn(513:768),Nsec).^2)/Nsec;
%第三段功率谱
Pxx4=abs(fft(xn(769:1000),Nsec).^2)/Nsec;
%第四段功率谱
Pxx=10*log10((Pxx1+Pxx2+Pxx3+Pxx4)/4);
%Fourier振幅谱平方的平均值,并转化为dB
std((Pxx1+Pxx2+Pxx3+Pxx4)/4)^2
f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);
%给出频率序列
figure;
plot(f(1:Nsec/2),Pxx(1:Nsec/2));
%绘制功率谱曲线
xlabel('频率/Hz');
ylabel('功率谱/dB');
title('N=4*256');
grid on;

N=1024;
Nsec=128;
%数据的长度和FFT所用的数据长度
Pxx1=abs(fft(xn(1:128),Nsec).^2)/Nsec;
%第一段功率谱
Pxx2=abs(fft(xn(129:256),Nsec).^2)/Nsec;
%第二段功率谱
Pxx3=abs(fft(xn(257:384),Nsec).^2)/Nsec;
%第三段功率谱
Pxx4=abs(fft(xn(385:512),Nsec).^2)/Nsec;
%第四段功率谱
Pxx5=abs(fft(xn(513:640),Nsec).^2)/Nsec;
%第五段功率谱
Pxx6=abs(fft(xn(641:768),Nsec).^2)/Nsec;
%第六段功率谱
Pxx7=abs(fft(xn(769:896),Nsec).^2)/Nsec;
%第七段功率谱
Pxx8=abs(fft(xn(897:1000),Nsec).^2)/Nsec;
%第八段功率谱
Pxx=10*log10((Pxx1+Pxx2+Pxx3+Pxx4+Pxx5+Pxx6+Pxx7+Pxx8)/8);
%Fourier振幅谱平方的平均值,并转化为dB
std((Pxx1+Pxx2+Pxx3+Pxx4+Pxx5+Pxx6+Pxx7+Pxx8)/8)^2

f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);
%给出频率序列
figure;
plot(f(1:Nsec/2),Pxx(1:Nsec/2));
%绘制功率谱曲线
xlabel('频率/Hz');
ylabel('功率谱/dB');
title('N=8*128');
grid on;

       以上代码可得到的功率谱分别如图8、图9、图10所示。分辨率能够直观的通过功率谱图形看出,方差的数值由表2给出。
15.png
  图8 L=8时平均周期图法得到的功率谱
16.png
  图9 L=4时平均周期图法得到的功率谱
17.png
  图10 L=2时平均周期图法得到的功率谱

  表2 不同L值得到功率谱的方差值
18.png
  L=1时,平均周期图法退化为周期图法。通过上面实验结果的比较,我们很容易发现,平均周期图法得到的功率谱随着分段数L变大,方差变小,但分辨率变小。

  当观测样本序列数据个数N固定时,要降低方差需要增加分段数L。当N不大时分段长度M取值较小,则功率谱分辨率降低到较低的水平。若分段数L固定时,增加分辨率需要分段长度M,则需要采集到更长的检测数据序列。实际中恰恰是检测样本序列长度不足。

  三、修正的平均周期图法
  由于实际检测中样本序列长度是有限的。对现有数据长度N,如果能获得更多的段数分割,将会得到更小的方差。允许数据段间有重叠部分,来得到更多的段数。对段间重叠长度的选取,最简单是取为段长度M的一半。由平均周期图法可知更多的段数可以进一步降低方差。

  数据截断的过程中相当于数据加矩形窗,矩形窗幅度较大的旁瓣会造成"频谱泄漏"。我们分段时采取的窗函数更为多样(三角窗,海明窗等), 以减小截断数据(加矩形窗)窗函数带来的影响[2]。

  修正平均周期图法的matlab代码如下:
火狐截图_2018-01-25T08-14-50.942Z.png

       分别采用矩形窗、Blackman窗和Hamming窗,上述代码可得到的功率谱如图11所示。
19.png
  图11 不同窗函数的修正平均周期图法得到的功率谱

  由上可以发现,矩形窗的分辨率最高,但是方差也最大,这是由于矩形窗频谱主瓣最窄,分辨率因此最高,旁瓣也高,导致频谱泄漏最严重,方差最大。

  综而言之,周期图法获得的功率谱随着样本点数越多,分辨率越大、方差越大;平均周期图法以牺牲分辨率来进一步改善方差;修正的平均周期图法允许段的重叠来进一步增大分段数、或者分段数相同,每段样本点数变多。无论是哪种方法都没有彻底结局方差与分辨率之间的矛盾。

  四、相关功率谱估计法-BT法
  如前所述,要提高功率谱估计的分辨率,必须增加数据序列的长度N,但是较长的数据序列,由噪声引起的随机性得到更为充分的体现-较大的方差。事实上,当N无穷大时,方差为一非零常数,即周期图法无法实现功率谱的一致估计。下面我们来介绍相关功率谱估计法(BT法),它是一致估计。

  维纳辛钦定理指出,随机信号的相关函数与它的功率谱是一对傅里叶变换对。BT法就是基于这个原理。先由观测数据估计出自相关函数,然后求自相关函数的傅立叶变换,以此变换作为对功率谱的估计,也称为间接法。BT法要求信号长度N以外的信号为零,这是BT法的局限性。BT法可以表述为:

  自相关函数:
20.png
  功率谱:
21.png
  取采样点数N分别为128、256、512和1024的BT法代码如下:
QQ截图20180125161349.png

       以上代码可得到的功率谱如图12、图13、图14和图15所示。
22.png
  图2-10 N=128时,BT法得到的功率谱
23.png
  图2-11 N=256时,BT法得到的功率谱
24.png
  图2-12 N=512时,BT法得到的功率谱
25.png
  图2-13 N=1024时,BT法得到的功率谱

  由上面实验可以发现,M随着N的增大而增大时,分辨率提高,方差变大。BT法仍然没有解决分辨率与方差之间的矛盾,但是BT法得到的功率谱当N为无穷大时,方差会趋向于零,即为一致估计[2]。

  周期图法与BT法的关系
  相关函数可以写成卷积形式:
26.png
  设序列uN(n)的傅立叶变换为UN(ω),则当M=N-1时,功率谱的估计可表示为:
27.png
  上式可以看出周期图法可以看作BT法在取M=N-1时的特例。

  结 论
  本文通过Matlab仿真,以一个具体的随机信号为例,简单介绍了周期图法、平均周期图法、修正的平均周期图法以及BT法的基本原理,并对这些方法的性能进行分析。可以看出,无论是周期图法及其改进算法还是BT法都没有从根本上解决分辨率与方差的矛盾。

  经典功率谱估计是利用傅里叶变换估计功率谱,而我们之前分析随机信号不满足傅里叶变换的条件,所以经典功率谱估计方法不得不从无限长数据点截取有限长数据点,加入限制条件(周期图法实际上假定N点外数据周期重复、BT法假定N点外数据为零)来"强制"作傅里叶变换,这也是造成它局限性的原因。

  参考资料
  [1] 朱哲,钟宏伟. 非平稳随机信号分析处理方法研究[J] 安徽电子信息技术学院学报 2008.6:28-28
  [2] 皇甫堪. 现代数字信号处理[M]. 电子工业出版社

  本文根据博客园lulujianjie的博文整理
  原文:http://www.cnblogs.com/jacklu/p/5140913.html

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发表于 2018-1-31 11:55 | 显示全部楼层
谢谢分享,学习!
发表于 2018-2-5 23:45 | 显示全部楼层
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