Osmond 发表于 2022-5-10 13:34

复合材料力学介绍—— 基本力学框架

分析尺度复合材料力学分析大致可以分为三个层面,即三种分析尺度:

· 细观力学:以纤维与基体作为基本研究单元,分析纤维和基体之间的相互作用,通过改变纤维和基体的布局和关系,研究材料的破坏机理和材料性能;这种方法精细但复杂,通常止步于单层材料在简单应力状态下的性能,为更宏观一级的力学分析提供参数支持;

· 宏观力学:把单层复合材料板看做是均匀的各向异性的材料,不考虑纤维和基体的具体细节,用平均的力学性能表示单层材料的刚度和强度;单层板的力学参数通过细观力学分析,或者实验测定得到;在复合材料力学分析中占主导地位;这个分析尺度也是本系列的重点;

· 复合材料结构力学:从更粗略的角度分析结构的力学性能,把叠层材料作为分析问题的起点;层叠板的力学性能通过细观或宏观力学分析得到,或者直接通过实验测定得到;对于计算资源不足,或者不需要太精确计算时使用,可以极大提高分析效率。

弹性力学首先要指出的是,无论在上述那种尺度进行分析,我们仍在连续介质力学的框架下进行分析,而不考虑分子动力学层面的分析方法。
弹性力学中几个基本假设:连续性、均匀性、线弹性、小变形、各项同性和无初始应力。并且通过平衡微分方程、几何微分方程、本构关系方程以及边界条件建立起了弹性力学的基本框架。此外,解的唯一确定性、线性叠加性质和圣维南原理也是学习过程中需要熟知了解的。

复合材料力学分析基本符合弹性力学的各项假设,最大的不同在于复合材料一般是各向异性的,其他诸如一些不均匀、不连续,甚至是非线性,这里先不讨论。

本构关系我们先看广义胡克定律,即本构关系矩阵。
刚度矩阵是应变通过线性变换到应力,柔度矩阵是应力通过线性变换到应变;这是线性本构框架下的理论分析,对于材料非线性的问题,本文不展开讨论。

刚度矩阵和柔度矩阵是对称矩阵;因此,对于最一般的情况而言,即完全各向异性的材料,有21个独立变量。

完全各向异性当存在一个对称面时,即单对称(单斜体)材料,有13个独立变量。

单对称(单斜体)材料当存在两个正交对称面时,第三个正交面也是对称的,即为正交各向异性材料,也是我们这里讨论的重点,有9个独立变量;此时,正应力与剪应变之间没有耦合,剪应力与正应变之间没有耦合,不同平面内的剪应力和剪应变之间也没有相互作用。

正交各向异性材料当垂直于轴线的平面各向同性时,为横观各向同性材料,有5个独立变量。

横观各向同性材料最特殊的情况,也是最常见的材料,为各向同性材料,有2个独立变量;一般有拉梅系数,杨氏模量和剪切模量,杨氏模量和泊松比等几种方式描述。

各向同性材料进行总结一下,如图。

工程常数上面的矩阵一般在数学上是直观的,但是不具备工程上的意义,或者说可观测性不足;因此,在工程上通常会通过简单试验,如拉伸、剪切、弯曲、扭转等方式获得一些独立的参数。
通常简单的试验是已知载荷或应力,测量位移或应变,因此柔度矩阵更容易测定。

正交各向异性材料的柔度矩阵,通过杨氏模量、剪切模量、泊松比描述。
细心的同学可能会发现,正交各向异性材料理论上只有9个独立变量,而上面的矩阵中包含了12个独立变量;但是由于矩阵的对称性,可以增加3个方程;因此,仍然只有9个独立变量。
刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩阵,这里就不展开写了。

此外,物理上还需要满足诸如热力学定律等限制,刚度矩阵和柔度矩阵都是正定的;为此,正交各向异性材料工程常数还需要满足一些不等式的约束。
退化到各向同性材料,弹性模量和剪切模量需要大于0,泊松比在0到0.5之间;而正交各向异性材料的泊松比没有这个限制,某些方向的可以大于0.5,甚至大于1。

最后本文介绍了复合材料的基本力学框架,并着重介绍了本构关系和正交各向异性的一些概念

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