复合材料力学介绍—— 基本力学框架

Osmond

分析尺度

复合材料力学分析大致可以分为三个层面，即三种分析尺度：

  · 细观力学：以纤维与基体作为基本研究单元，分析纤维和基体之间的相互作用，通过改变纤维和基体的布局和关系，研究材料的破坏机理和材料性能；这种方法精细但复杂，通常止步于单层材料在简单应力状态下的性能，为更宏观一级的力学分析提供参数支持；

  · 宏观力学：把单层复合材料板看做是均匀的各向异性的材料，不考虑纤维和基体的具体细节，用平均的力学性能表示单层材料的刚度和强度；单层板的力学参数通过细观力学分析，或者实验测定得到；在复合材料力学分析中占主导地位；这个分析尺度也是本系列的重点；

  · 复合材料结构力学：从更粗略的角度分析结构的力学性能，把叠层材料作为分析问题的起点；层叠板的力学性能通过细观或宏观力学分析得到，或者直接通过实验测定得到；对于计算资源不足，或者不需要太精确计算时使用，可以极大提高分析效率。

弹性力学

首先要指出的是，无论在上述那种尺度进行分析，我们仍在连续介质力学的框架下进行分析，而不考虑分子动力学层面的分析方法。

弹性力学中几个基本假设：连续性、均匀性、线弹性、小变形、各项同性和无初始应力。并且通过平衡微分方程、几何微分方程、本构关系方程以及边界条件建立起了弹性力学的基本框架。

此外，解的唯一确定性、线性叠加性质和圣维南原理也是学习过程中需要熟知了解的。

复合材料力学分析基本符合弹性力学的各项假设，最大的不同在于复合材料一般是各向异性的，其他诸如一些不均匀、不连续，甚至是非线性，这里先不讨论。

本构关系

我们先看广义胡克定律，即本构关系矩阵。

刚度矩阵是应变通过线性变换到应力，柔度矩阵是应力通过线性变换到应变；这是线性本构框架下的理论分析，对于材料非线性的问题，本文不展开讨论。

刚度矩阵和柔度矩阵是对称矩阵；因此，对于最一般的情况而言，即完全各向异性的材料，有21个独立变量。

完全各向异性

当存在一个对称面时，即单对称（单斜体）材料，有13个独立变量。

单对称（单斜体）材料

当存在两个正交对称面时，第三个正交面也是对称的，即为正交各向异性材料，也是我们这里讨论的重点，有9个独立变量；此时，正应力与剪应变之间没有耦合，剪应力与正应变之间没有耦合，不同平面内的剪应力和剪应变之间也没有相互作用。

正交各向异性材料

当垂直于轴线的平面各向同性时，为横观各向同性材料，有5个独立变量。

横观各向同性材料

最特殊的情况，也是最常见的材料，为各向同性材料，有2个独立变量；一般有拉梅系数，杨氏模量和剪切模量，杨氏模量和泊松比等几种方式描述。

各向同性材料

进行总结一下，如图。

工程常数

上面的矩阵一般在数学上是直观的，但是不具备工程上的意义，或者说可观测性不足；因此，在工程上通常会通过简单试验，如拉伸、剪切、弯曲、扭转等方式获得一些独立的参数。

通常简单的试验是已知载荷或应力，测量位移或应变，因此柔度矩阵更容易测定。

正交各向异性材料的柔度矩阵，通过杨氏模量、剪切模量、泊松比描述。

细心的同学可能会发现，正交各向异性材料理论上只有9个独立变量，而上面的矩阵中包含了12个独立变量；但是由于矩阵的对称性，可以增加3个方程；因此，仍然只有9个独立变量。

刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩阵，这里就不展开写了。

此外，物理上还需要满足诸如热力学定律等限制，刚度矩阵和柔度矩阵都是正定的；为此，正交各向异性材料工程常数还需要满足一些不等式的约束。

退化到各向同性材料，弹性模量和剪切模量需要大于0，泊松比在0到0.5之间；而正交各向异性材料的泊松比没有这个限制，某些方向的可以大于0.5，甚至大于1。

最后

本文介绍了复合材料的基本力学框架，并着重介绍了本构关系和正交各向异性的一些概念