而站着 发表于 2022-7-13 09:40

达·芬奇不会画的项链竟然蕴藏着大自然的真理

在我们欣赏达·芬奇的名作《抱银貂的女人》时,我们或许会注意到脖颈上悬挂的黑色珍珠项链,惊叹于项链与女人相互映衬的美与光泽;而达·芬奇却在思索:固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂,那么项链所形成的曲线是什么?很遗憾,他还没找到问题的答案便去世了。
外表上看,这似乎像是一条抛物线,伽利略也做出了这个推测,然而荷兰物理学家惠更斯用物理方法证明了这条曲线不是抛物线,但到底是什么,他一时也求不出来。直到几十年后,雅各布·伯努利再次提出这个问题。他受困于要证明其为抛物线的初衷,一年也没有完成证明,反而是他的弟弟约翰·伯努利用了一晚上便解出,让哥哥感觉到“奇耻大辱”。

那么这到底是一条怎样的曲线呢?我们不妨如图建立坐标,链条形状设为曲线y = y(x),设该链条具有线密度ρ,链条弧长为s,用V表示其重力势能
根据最小势能原理,当体系的势能最小时,系统会处于稳定平衡状态,y(x)的形状应当满足使V取最小值,这又是一个泛函的极值问题,我们直接代入欧拉-拉格朗日方程有:
曲线为双曲余弦:
其中c 满足
而这里的最小势能原理其实只是最小作用量原理的一个例子。

作用量,我们可以概括的说它表示着一个物理系统内在的演化趋向。从这一状态到另一状态,大自然的规律总是选择作用量最小的那个过程,而在不同的体系中作用量的形式往往也是不同的。

在几何光学中,体现最小作用量原理的是费马原理,又名“最短时间原理”:光线传播的路径是需时最少的路径。这里的最小作用量其实就是光传播的时间。从费马原理可以导出光的直线传播定律和反射折射定律。

在动力学系统中,体现最小作用量原理的是哈密顿原理:在一切容许的运动中,质点组的真实运动满足拉氏量对时间的积分为驻值。这里拉氏量定义为系统动能与势能的差,从哈密顿原理可以导出与牛顿第二定律等价的欧拉-拉格朗日方程。
而如果力学系统处于静力平衡稳定状态,则因动能为零,势能不显随时间变化,转化为最小势能原理:当一个体系的势能最小时,系统会处于稳定平衡状态。

既然光学与力学都可由最小作用量原理统一,那么有没有一种精巧的构造,能够把他们直观的联系到一起呢?这里参考一种用力学方法给出的光折射定律证明:

假设光在空气中的速度为v1,在水中的速度为v2,如果要求光从空气中的A点到水中的B点路径,根据时间为最小作用量,我们知道实际上就是求的最小值,其中s1,s2 分别是光在空气和水中传播的距离。
我们假设存在这样一种理想的弹簧,它的原长为0,并且拉力恒定为F,如果伸长至l,那么弹性势能可以表示成Fl。

在空气和水界面放一根光滑的杆,杆上套一个光滑的环,再取两根上述理想的弹簧连接A点到环再到B点,这样环的每一个位置实际上就对应了光的一种可能传播路径。此时,我们取弹簧1和2的拉力满足,于是最小的时间便转化为了最小势能F1s1+F2s2,根据水平方向的力平衡条件很容易便得到,即折射定律:
而在物理学的其他领域,拉莫从最小作用量原理出发导出了麦克斯韦方程组,也就是电磁学的全部基本规律。德布罗意注意到光与实物粒子的运动都符合最小作用量原理,而光具有波粒二象性,从而猜想实物粒子也具有波粒二象性,大胆提出了“物质波”的理论。奥斯卡·克莱因和沃尔特·戈登从最小作用量原理导出了相对论量子力学和量子场论中的Klein-Gordon方程。费曼从最小作用量原理出发创造出了量子力学的又一等价方法——路径积分……德国女数学家埃米·诺特在《变分问题的不变性》中提出诺特定理,指出作用量的每一种对称性(即变换不变性)都对应着一种守恒律,平移对称对应着动量守恒,旋转对称对应着角动量守恒,时间对称对应着能量守恒,统一了作用量,守恒律,对称性之间的关系。

以后走在大街上,看到悬着的铁链,或许又会多一份对自然的敬畏吧。

参考文献
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2、https://baike.baidu.com/item/%E4%BD%9C%E7%94%A8%E9%87%8F

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4、https://www.zhihu.com/question/26435474

5、https://baike.baidu.com/item/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%87%BD%E6%95%B0/15458452

6、https://zhuanlan.zhihu.com/p/341095091

7、https://www.bilibili.com/video/BV1Gs411z7EZ?spm_id_from=333.999.0.0

8、https://baike.baidu.com/item/%E5%85%8B%E8%8E%B1%E5%9B%A0-%E6%88%88%E7%99%BB%E6%96%B9%E7%A8%8B/22174177

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