达·芬奇不会画的项链竟然蕴藏着大自然的真理

而站着

在我们欣赏达·芬奇的名作《抱银貂的女人》时，我们或许会注意到脖颈上悬挂的黑色珍珠项链，惊叹于项链与女人相互映衬的美与光泽；而达·芬奇却在思索：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？很遗憾，他还没找到问题的答案便去世了。

外表上看，这似乎像是一条抛物线，伽利略也做出了这个推测，然而荷兰物理学家惠更斯用物理方法证明了这条曲线不是抛物线，但到底是什么，他一时也求不出来。直到几十年后，雅各布·伯努利再次提出这个问题。他受困于要证明其为抛物线的初衷，一年也没有完成证明，反而是他的弟弟约翰·伯努利用了一晚上便解出，让哥哥感觉到“奇耻大辱”。

那么这到底是一条怎样的曲线呢？

我们不妨如图建立坐标，链条形状设为曲线y = y(x)，设该链条具有线密度ρ，链条弧长为s，用V表示其重力势能

根据最小势能原理，当体系的势能最小时，系统会处于稳定平衡状态，y(x)的形状应当满足使V取最小值，这又是一个泛函的极值问题，我们直接代入欧拉-拉格朗日方程有：

曲线为双曲余弦：

其中c 满足

而这里的最小势能原理其实只是最小作用量原理的一个例子。

作用量，我们可以概括的说它表示着一个物理系统内在的演化趋向。从这一状态到另一状态，大自然的规律总是选择作用量最小的那个过程，而在不同的体系中作用量的形式往往也是不同的。

在几何光学中，体现最小作用量原理的是费马原理，又名“最短时间原理”：光线传播的路径是需时最少的路径。这里的最小作用量其实就是光传播的时间。从费马原理可以导出光的直线传播定律和反射折射定律。

在动力学系统中，体现最小作用量原理的是哈密顿原理：在一切容许的运动中,质点组的真实运动满足拉氏量对时间的积分为驻值。这里拉氏量定义为系统动能与势能的差，从哈密顿原理可以导出与牛顿第二定律等价的欧拉-拉格朗日方程。

而如果力学系统处于静力平衡稳定状态，则因动能为零，势能不显随时间变化，转化为最小势能原理：当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定平衡状态。

既然光学与力学都可由最小作用量原理统一，那么有没有一种精巧的构造，能够把他们直观的联系到一起呢？这里参考一种用力学方法给出的光折射定律证明：

假设光在空气中的速度为v1，在水中的速度为v2，如果要求光从空气中的A点到水中的B点路径，根据时间为最小作用量，我们知道实际上就是求 的最小值，其中s1,s2 分别是光在空气和水中传播的距离。

我们假设存在这样一种理想的弹簧，它的原长为0，并且拉力恒定为F，如果伸长至l，那么弹性势能可以表示成Fl。

在空气和水界面放一根光滑的杆，杆上套一个光滑的环，再取两根上述理想的弹簧连接A点到环再到B点，这样环的每一个位置实际上就对应了光的一种可能传播路径。此时，我们取弹簧1和2的拉力满足 ，于是最小的时间 便转化为了最小势能F1s1+F2s2，根据水平方向的力平衡条件很容易便得到 ，即折射定律：

而在物理学的其他领域，拉莫从最小作用量原理出发导出了麦克斯韦方程组，也就是电磁学的全部基本规律。德布罗意注意到光与实物粒子的运动都符合最小作用量原理，而光具有波粒二象性，从而猜想实物粒子也具有波粒二象性，大胆提出了“物质波”的理论。奥斯卡·克莱因和沃尔特·戈登从最小作用量原理导出了相对论量子力学和量子场论中的Klein-Gordon方程。费曼从最小作用量原理出发创造出了量子力学的又一等价方法——路径积分……德国女数学家埃米·诺特在《变分问题的不变性》中提出诺特定理，指出作用量的每一种对称性（即变换不变性）都对应着一种守恒律，平移对称对应着动量守恒，旋转对称对应着角动量守恒，时间对称对应着能量守恒，统一了作用量，守恒律，对称性之间的关系。

以后走在大街上，看到悬着的铁链，或许又会多一份对自然的敬畏吧。

参考文献
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