[转帖]数学难与数学美
<P align=center><FONT face=黑体 color=#4d2bd5 size=3>学数的苦与乐</FONT> <br>作 者: chowkafat(kafat) 2004-03-31 19:46:09 :0 :0 <br>原文：<a href="http://www.geocities.com/kfzhouy/Mathpassage1.html" target="_blank" ><FONT color=#000000>http://www.geocities.com/kfzhouy/Mathpassage1.html</FONT></A> </P><P align=center><FONT color=#0909f7 size=3>学数之苦</FONT> <br>看数学书跟看小说或其它消闲书籍不同，不能「随随便便」地读，因为读数学书必须理解，不仅是对前文后理的理解，而且是对书中的演算或证明每一步的理解。因此读数学书就像跟作者一起在做运算，有时心算算不了还要拿纸笔出来进行笔算。有些人也许采用实用主义的观点，认为看数学书只需明白有关公式、定理的意义和用途，而不必深究这些公式、定理是如何推导出来的，因而可以跳过这些证明不看。</P>
<P>这种观点对于初学数学的人或者不打算深入了解有关公式、定理的人来说或许是正确的，但如果你希望对这些公式、定理有进一步的了解，那就不能不看证明了。事实上，证明往往就是整本数学书的精粹。假如你翻开一本典型的数学教科书，你会发现这本教科书的大部分篇幅都是由定理(Theorem)(注1)的证明构成的。读数学书就是看(理解)这一条条定理的证明，有些定理的证明还长达数页，有时由于看不懂证明的某一步骤是如何推导的，往往须花费很长时间苦思冥想，所以看数学书绝不是「消闲」的活动，而是颇费神的。</P>
<P>有些人或许认为数学教科书既然是由数学家写的，我们大可相信他们的证明没有错误，因而无需仔细看证明的每一步，此说其实未必尽然。首先，看证明的目的是为了深入了解某定理与其它定理或定义的逻辑依存关系，如果只是随便地看看证明而不细心理解其理据，那么有关内容只是过眼云烟，看了还是未完全理解其意义。其次，看证明往往就是锻炼逻辑推理和数学运算技巧的机会，不仅能提高我们的推理和运算能力，而且还能增强自信心，使自己不再惧怕繁琐的算式。第三，定理的证明常常须用上先前已证明的定理或甚至其它数学学科的知识(假设这些知识已成为读者的常识)，因此看证明就是温习这些旧知识的机会。我们决不可轻看温习旧知识对学习数学的重要性。在某程度上，学数其实是一个「浸」的过程。我们常常看到这样一个现象，某些新概念在初接触时觉得甚难理解，但当我们多接触这些概念几次，就会开始觉得这些概念其实并不那么陌生。假以时日，甚至会成为我们常识的一部分。总上所述，看证明有时是一种痛苦但又必要的过程。</P>
<P>学数之苦不仅在于看数学书的费劲，还在于学数往往不能一蹴而就，而须一点一滴累积。我对某些抽象数学概念的理解(例如流形Manifold、微分形式Differential Form、线性泛函Linear Functional等)常常是经过断断续续看不同的书，从不同角度讨论同一个概念而一点一滴累积的。有时在看了第一本讨论这概念的书后以为自己明了，但很快便会忘记，需要再看第二本、第三本才能慢慢领略其真谛。因此可以说，看数学书甚少是可以全本都看得明的，而知识的增长不是直线上升，而是呈螺旋式上升。数学知识的每一步增长都要经过艰苦的努力，其中还夹杂不知多少失望、沮丧和惶恐。</P>
<P>数学书之难读不在于算式之繁，而在于某些数学概念之抽象。其实算式一般是具体易明的，即使很繁，只要多点耐性，终究也能应付得来。但如果概念十分抽象而书本中又缺乏实例，那就真教人丈八金刚摸不着头脑。例如对于很多人来说，在平面上理解立体图形便是一件很痛苦的事。但其实这已不算十分困难，因为立体(即三维空间)终究是我们日常生活于其中的空间，是我们所熟悉的。某些数学学科(例如拓朴学Topology)所研究的常常是三维以上的空间或图形，根本无法画出来，那就更难理解了。例如在拓朴学中便有两个著名图形(克莱因瓶Klein Bottle和射影平面Projective Plane)是超出三维空间的。在理解这些图形时，根本没有现实世界中的实例，只能通过想象和借助模拟方法抽象地理解。如果四维空间还可以透过跟三维空间模拟去理解，那么微分拓朴(Differential Topology)中的「七维怪球面」便真的只能靠艰苦的推理了。</P>
<P>数学的抽象性往往还不是一层的抽象，更常常是多层的抽象。就以抽象代数(Abstract Algebra)为例，它所研究的群(Group)、环(Ring)、域(Field，有些书译作「体」)、模(Module)、格(Lattice)、布尔代数(Boolean Algebra)等本身便是抽象的。所谓「抽象」(Abstraction)，就是抓着一些对象的共同点加以整体研究，而撇除这些对象的个别特点。例如实数(Real Number)、复数(Complex Number)、向量(Vector)、矩阵(Matrix)等本来是各有不同特点的集合(Set)，但是它们在加法运算上却有相同之处，即加法在这些集合上满足封闭性 (Closure)、结合性(Associativity)，存在单位元(Identity)和逆元(Inverse)，于是我们便可以把这种共同点抽象出来，把具有上述四种特性的集合及有关运算统称为「群」，进行综合研究。这可以称为第一层的抽象。</P>
<P>可是抽象代数学并不满足于只是把各种不同集合及其运算抽象成「群」，而是进而研究不同群之间的关系，并引出「同态」(Homomorphism)和「同构」(Isomorphism)的概念。同态和同构就是不同群之间的一种函数关系，在抽象程度上比群的运算更高一级。而新近发展起来的范畴论(Category Theory)更以集合与集合之间的函数关系重新厘定数学的基础，并且引出范畴(Category)、函子(Functor)、自然变换(Natural Transformation) 等概念，而且这些概念一个比一个抽象。数学的抽象程度似乎是永无止境的。</P><br>
<P>不仅数学概念是抽象的，数学的证明方法也是抽象的，这是因为数学证明是基于纯粹的逻辑思维，即从给定的前提和已有的概念、定理出发，根据正确的推理规则推出结果。在这过程中，最重要的是推理规则，至于前提正确与否反倒是次要的。此一情况在反证法(Proof by Contradiction)中最为明显。反证法的证明方法是首先假设待证的结论是错的(即假设结论的否定是正确的)，然后尝试由此推导出矛盾，矛盾的存在证明最初的假设 (即待证结论的否定)是不正确的，由此便间接证明了待证结论。从反证法的原理可以看到，数学的推理是纯形式的，即数学家在推理时只注意使用正确的推理规则，而不必考虑前提是否正确。因此，数学家不仅要懂得如何从正确的前提推出正确的结论，也要懂得如何从错误的前提出发，在推理中发现矛盾，从而证明前提是错误的。这不能不说是对思维的颇高要求。</P>
<P>造成数学抽象性的另一个原因是数学研究的对象往往是无限的，而人的经验却是有限的。以有限的经验尝试理解无限的事物，常会有「以偏概全」或「挂一漏万」的弊端。因此数学使用演绎法(Deduction)而非归纳法 (Induction)(注2)，因为只有演绎法才能保证推理的结论在无限的情况下是正确的(注3)。数学上的演绎证明常常采用这样的形式：假设一个具有某些性质的一般个体(变量variable)，然后根据此个体的性质进行推理。例如，在证明某关于偶数的命题时，首先假设一个偶数变量x，由于x是偶数，故可把它表达为2n，其中n为任意整数。在证明过程中我们所着眼的由始至终均应是这个一般的x=2n，而不是任何一个具体的偶数(如2、4、6 等)。换言之，我们撇除了2、4、6这些数的个别特点，而只着眼于这些数的共同点(即它们都可以表达为2n)。</P>
<P>可是学数的人不能总是抽象地考虑一般的对象，因为一般的对象有时会过于抽象而难以理解。事实上，学数的人在理解一个新命题或面对一个新问题时，常须使用「特殊化」(Specialization)的手段，即把一般的对象换成具体的特例以帮助理解。例如，在初接触「偶数和奇数的积是偶数」此一命题时，如果觉得很抽象难明，可以先把命题中的「偶数」和「奇数」换成6和3这两个具体数字，然后求其积得18，证实6和3的积的确是偶数。又例如在证明几何题时，常常需要借助画图帮助思考，画图也是特殊化的方法。可是特殊化有时会令学数的人误把一些非本质的属性带入思考中，从而导致错误理解或错误解题。因此，学数的人在特殊化时必须小心分清在他们所选的特例中哪些性质是本质的，哪些并非本质的，这正是难点之所在。</P>
<P align=center>最后我想把学习数学比作登山，当你还身处山脚并向上望时，只见山峰处被浓浓的云雾遮盖着，以为这座山就那么高，心想只要走到那里便已到达颇高境界。但当你穿过浓雾，正要沾沾自喜之际，抬头一看，却赫然发现眼前竟又出现多个高峰，原来刚才只是因为眼界被浓雾遮蔽，看不见雄伟的山势；当穿过云雾后，才发现原来前面的路还多着呢。学数也是这样，每当你经过一番努力，以为已经攀登了一个「高峰」时，才发现前面原来还有很多个高峰。而且越往上走，所发现的高峰便越多。有时面对眼前雄伟壮观的景象，心想恐怕这一辈子也难以攀上其中一个，真有点望「峰」兴叹之感。</P>
[此贴子已经被作者于2005-8-18 7:54:23编辑过]
<P align=center><FONT color=#1a1ae6 size=4>学数之乐</FONT> </P>
<P align=center><BR>讲了这么多学数之苦，似乎学习数学是苦不堪言的，那么为何仍要孜孜不倦地去追求这方面的学问呢？原因是经过我们在经过一番艰苦努力后，终会获得甜美的果实。数学虽然是高度抽象的，但它又是具有高度规律性的。数学的这种规律性乃来自其逻辑性和形式化的表达方法。所谓形式化(Formalization)，是指使用严格定义的符号系统，遵循严格定义的规则进行运算或推理，因此数学的最大特征就是大量使用符号。形式化的好处是使定义更加明确，令运算和推理过程更加清晰，使含混其词或偷换概念等逻辑谬误较容易被发现。事实上，数学家兼哲学家莱布尼兹(Leibniz)曾经指出，哲学上的诸多争论是由于人类的语言不够严格，如果能够发明一种高度形式化的语言，便可消弭各种不必要的争论。虽然莱布尼兹的设想未必正确，至今也没有实现，但他的确道出了数学形式化的优越性。因此，跟其它学科比较，数学的知识是十分实在的，没有争论的余地，也不容许含混其词或偷换概念(注4)。</P>
<P>由于数学思维是逻辑思维，因此学数就是锻炼逻辑思维的最佳方法。思考的过程有时是艰苦的，但在经过艰苦努力后总会有一些成果，这些成果不仅是智能的增长，有时更是一种满足感或者豁然开朗的顿悟感觉。而有时错误更会令我们学习到更多东西。我就曾经面对一条题目，苦思了两天后还差一点点未能完全解通。在次晨起床后静静回顾这条题目时，突然发现自己原来错误理解了题目的某一部分。经纠正后，一切便变得明白了，原来的问题也完全解通了，心中有一种莫名的喜悦和顿悟的感觉。事实上，由于我最初错误理解题目，才会令我花这么多时间十分细致地思考这条题目的各个方面。可以说，这错误虽然耗费了我很多时间，但却令我学习了更多东西。</P>
<P>数学的规律性和逻辑性不仅展现了人类智能之光，也是一种美的表现，因此学数除了锻炼智能外，还可以欣赏数学之美。谈到数学之美，人们首先想到的是几何图形的对称美。事实上，当代物理学指出对称性(Symmetry) 是我们宇宙的一种本质属性，因此对称性成了今天几何学研究的其中一个课题。除了传统的几何学外，分形几何学(Fractal Geometry)是展现几何图形美的另一个来源。很粗略地讲，如果对称几何学展现了宇宙的规则性和对称性，那么分形几何学则展现了宇宙的另一面-不规则性和混沌性(chaotic)(注5)。不过这种不规则不是杂乱无章，而是表现为一种「自相似结构」，可以说是乱中有致。事实上，今天有些人正是利用分形几何学的理论创作美术图形。</P>
<P>其实数学美不仅表现在几何图形中，即是说数学美不仅是一种视觉美，而且是一种心灵美。学数的人在领会到数学的规律性、统一性、简洁性等等优美特性时，心中会有一种莫名的愉悦感，此即数学美之所在。以下通过一些实例谈谈我对数学美的体会。</P>
<P>数学的规律性经常表现为其无矛盾性，即数学系统各个分枝的知识是互相协调的。在学数时常会发现一个有趣的现象，就是同一个问题在使用极不相同的方法求解时都能得到相同的结果。例如著名的「代数学基本定理」 (Fundamental Theorem of Algebra)便有多种证法，分别可从代数学、分析学和拓朴学的角度证明这同一条定理。有时在求解一个复杂问题时，需要将问题转化为另一个较易解的问题，最后将答案还原为原问题的解。这样的解题方法往往须进行多重转换，经转换后的问题根本已变得面目全非，但是只要转换过程是符合逻辑的，最后的答案却仍是正确的。例如在求解某些常微分方程初值问题时，我们可以先利用拉普拉斯变换(Laplace Transform)把原有的微分方程转化为一个代数方程，然后使用代数方法解这个代数方程，最后用拉普拉斯逆变换把代数方程的解还原为原微分方程的解。而最令人赞叹的是，使用此方法求得的解是正确的。</P>
<P>造成上述此一现象的其中一个原因是，数学问题或数学现象往往可以从不同数学分枝的角度研究，这些数学分枝不同表述方式只是表面上的不同，其实质是同一个数学问题。就以含有两个未知数的联立方程( Simultaneous Equation)为例。我们知道，含有两个未知数的联立方程可以表达为平面上的两根直线。联立方程的解就相当于该两根直线的交点。在一般情况下，一组联立方程只有一组解(即唯一解)，此现象相当于平面上的两条直线在一般情况下只有唯一一个交点。但当联立方程是矛盾(Inconsistent)(注6)的因而无解时，该两条方程在平面上便表现为一对并行线，即没有交点的两条直线。而当联立方程线性相关(Linear Dependent) (注7)因而有无限个解时，该两条方程在平面上便表现为同一条直线，即两条直线相交于一条直线，因而直线上的所有点均为联立方程的解，故有无限个解。上述这个简单例子阐明了代数与几何有密切的关系，而两者是互相协调的。</P>
<P>其实上述现象不仅出现在数学的各个分枝之间，还常常出现于数学与其它科学之间。以下举一个物理学的例子。在物理学上有一个现象称为「简谐振动」(Simple Harmonic Motion)，是描述某些循环往复的运动，例如弹弓的振动在没有磨擦力或其它外力的情况下便表现为简谐振动，在你压一压弹弓后，弹弓便会时张时合，弹弓上的每一点在经过一个周期后会返回某个位置，循环不息(注8)。假如我们根据牛顿力学把弹弓上某点的运动表达为一条微分方程并解该微分方程时，我们会发现该方程的解可以表达为一个正弦函数(Sine Function) ，而正弦函数正好就是一个周期函数(Periodic Function)，即函数的值在经过一个周期会变回原来的值(注9 )。我们看到，物理学上的简谐振动正好对应于微分方程的周期函数解，这是多么的美妙。此一简单例子显示，数学与物理学是密切相关的。事实上，我们可以说数学的规律性其实来自于大自然的规律性。</P>
<P>其次谈谈数学的统一性。数学的统一性表现为，一些表面上毫不相干或甚至矛盾的现象常常可以统一在一个更高的理论框架下。其情况就好象古代的指挥官在指挥军队时必须站在较高的位置上才能看清全局。在几何学上便有这样的事例。自从古希腊数学家欧几里德(Euclid)创立其欧氏几何(Euclidean Geometry)后，欧氏几何一直主宰西方几何数百年，直至文艺兴时期之后才开始陆续出现其它几何学，如射影几何(Projective Geometry)、仿射几何(Affine Geometry)、相似几何(Similar Geometry)，乃至19世纪出现的非欧几何(Non- Euclidean Geometry)(注10)等。虽然各种几何似乎各自独立，甚至互不兼容(例如欧氏几何与非欧几何就是互不兼容的)，但是在1872年德国数学家克莱因(Klein)发表了著名的《埃尔兰根纲领》(Erlangen Program)，将各种几何统一在一个理论框架下。他所用的工具是几何变换(Geometric Transformation)所组成的「群」( Group)，他把几何学的研究对象确定为在给定变换群下不变的几何性质，这样各种几何的不同之处仅在于它们所着眼的变换群各有不同。而更重要的是，这些变换群之间是有关连的，例如欧氏几何变换群是仿射几何变换群的子群(Subgroup)，而后者又是射影几何变换群的子群。因此《埃尔兰根纲领》不仅统一了各种几何学，而且还把部分几何学组织成一个层级(Hierarchy)，在这个层级中，射影几何在仿射几何之上，而仿射几何又在欧氏几何之上。各种几何不再是互不相干，而是有结构的，这是多么的美妙。</P>
<P>数学的统一性还表现在我们推广(generalize)某些数学概念时，新概念往往能涵盖旧概念，并且能与旧概念协调。例如复数(Complex Number)就是实数(Real Number)的推广，我们可以把复数表达为a+bi的形式，其中a和 b为实数，分别称为复数的实部(Real Part)和虚部(Imaginary Part)，而i则是虚数单位，其定义为-1的平方根。在这定义中，如果我们取b=0，便会得a，因此实数其实就是虚部等于零的复数，由此可见，实数只不过是复数的特例。而更重要的是，复数的加、减、乘运算法则跟一般的代数运算法则没有分别，而它的除法则与根式有理化(Rationalizaton of Surds)如出一辙，只不过多了一条i2=-1的法则。如果我们把复数的四则运算法则套用于实数上，所得结果与实数的四则运算完全一样，这从另一角度证明实数是复数的特例。</P>
<P>我们再看分析学的例子。在学习一元微积分时，我们都会学到一条微积分基本定理(Fundamental Theorem of Calculus)。后来在学多元微积分(又称向量微积分)时，我们会学到各种新的积分，如二重积分、三重积分、曲线积分(Line Integral)、面积分(Surface Integral)以及更多积分定理，包括格林定理(Green's Theorem )、高斯定理(Gauss' Theorem)和斯托克斯定理(Stokes' Theorem)，此外我们也会学到多种微分算子( Differential Operator)，如梯度(Gradient)、散度(Divergence)和旋度(Curl)算子。这种种积分、定理和算子似乎是各有所司，互不相干的。但当我们学了流形分析(Analysis on Manifolds)后，我们便会发现上述各种积分都可以统一为微分形式(Differential Form)的积分、各种积分定理可以统一为「广义斯托克斯定理」( Generalized Stokes' Theorem)，而各种微分算子都可以统一为微分形式的d算子。换言之，上述各种微积分理论其实都只是微分形式的微积分理论的特例，在这里我们再次看到数学统一性的美妙。</P>
<P>其实，除了上述两例外，数学上的推广例子实在俯拾皆是，随便举一些例子，如椭圆是圆形的推广；向量 (Vector)是标量(Scalar)的推广，而张量(Tensor)又是向量的推广；拓扑学中的拓扑概念是开集(Open Set)概念的推广；泛函分析(Functional Analysis)中的范数(Norm)是平面上的点与原点距离概念的推广；实分析( Real Analysis)中的测度(Measure)是几何学中长度、面积、体积概念的推广；泛函分析中的谱(Spectrum)是线性代数(Linear Algebra)中特征向量(Eigenvector)概念的推广；黎曼几何(Riemannian Geometry)中的度规 (Metric)是平面解析几何中两点距离公式的推广，如似等等。其实不仅概念与概念之间有推广关系，有时学科与学科之间也有推广关系，例如从某一角度去看，线性泛函分析可视为是线性代数推广到无限维向量(或内积) 空间的理论；同样，流形分析也可视为是向量微积分推广到高维欧氏空间或甚至微分流形(Differentiable Manifold)的理论。</P>
<P>曾有一些人这样比较数学与其它科学，其它科学常常出现后人推翻前人理论的情况，但在数学中则不会出现此一情况，因为数学理论是由演绎法得来的真理，不可能推翻(除非前人犯了逻辑错误)，后人只能继承和推广前人的概念和理论。因此学数的人不用担心他们所学的理论明天会失效(但可能会过时)，这就是数学的规律性和统一性的最佳说明。</P>
<P>最后我要谈谈数学的简洁性。数学的简洁性其实是指其高度概括性，即数学家总喜欢用最简练的语言表达其思想。由于符号和公式是最简练的语言，因此数学家便最爱用符号和公式尽量概括所取得的结果。例如复分析中著名的欧拉(Euler)公式：e^(iπ)+1=0，恐怕是历来最为人称道的数学公式，因为这短短的一条式便表达了数学中最重要的五个常数0、1、i(虚数单位)、π(圆周率)和e(自然对数的底)之间的关系，这是何等的精练。</P>
<P>数学的高度概括性不仅在于数学公式的精练，还在于某些定理能以有限的语言概括大量或甚至无限的现象。例如前述的广义斯托克斯定理便以一条很简短的公式概括各种积分定理。又如抽象代数学中的伽罗华理论( Galois Theorem)利用伽罗华群(Galois Group)和自同构(Automorphism)等概念研究多项方程式(Polynomial Equation)的根式(Surd)解，结果发现五次或以上的多项方程式并无一般的根式解，这是多么高度概括的结果。再如几何拓朴学(Geometric Topology)中的「紧致连通曲面(Compact Connected Surface)分类定理」告诉我们，任何紧致连通曲面在同胚(Homeomorphic)(注11)的意义下均可划归以下三类曲面的其中一类：球面( Sphere)；圆环(Torus)的连通和(Connected Sum)；射影平面(Projective Plane)的连通和。于是形形式式的紧致连通曲面便被简单地分为三类，由此可见数学推理的力量。我们甚至可以说，数学就是以有限驾驭无限的艺术。</P>
<P>或许数学的简洁性和统一性正是宇宙规律性的反映，与数学有密切关系的物理学同样追求简洁性和统一性，而且亦已取得很多成功。19世纪末麦克斯韦(Maxwell)把电和磁两种现象统一于他的电磁理论(Electromagnetism )，是一次大成功。到了20世纪，爱恩斯坦企图建立一种把引力与电磁力统一的「统一场论」，至死没有成功。但后继的物理学家继续孜孜不倦的努力，企图最终建立一种能把宇宙四种基本力(引力、电磁力、弱力和强力) 的「万有理论」(Theory of Everything)。研究当今最尖端的超弦理论(Superstring Theory)的美籍日裔理论物理学家加来道雄(Michio Kaku)经常说，万有理论可能是一条只有一英吋长的方程式，但它能统一宇宙的四种基本力。由此可见，简洁性和统一性似乎是数学家和物理学家的共同梦想。</P>
<P>注1：有些书不用「定理」这名称，而称「命题」(Proposition)。此外有时还有引理Lemma、推论Corollary 等，但其实引理和推论都是定理的一种。</P>
<P>注2：在数学上虽然有一种极重要的证明方法称为数学归纳法(Mathematical Induction)，但数学归纳法的要旨是假设待证命题S(n)在n=k时成立，然后尝试据此证明S(n)在n=k+1时也成立，其本质仍是演绎推理。</P>
<P>注3：当然，如果待证结论只涉及有限个对象，那么理论上使用「完全归纳法」(即穷尽地考察所有对象)也能得到正确的结论；但是如果对象数目很大，要进行完全归纳法也是极为困难的。</P>
<P>注4：当然，这并不代表所有读数学的人都不会犯逻辑错误，事实上，数学上某些问题由于难度很高，即使数学家也可能不自觉地犯了逻辑错误。数学史上很多错误证明便可证明这点。另外，某些数学问题并无固定不变的解法，不同数学家根据其经验会认为适宜采用不同的方法，这时便会有争论的情况出现。例如，在有关数值分析(Numerical Analysis)的问题上，不同数学家便可能会对使用何种数值方法、采取甚么样的初值(Initial Value)、采取甚么样的误差容许度(Tolerance)持不同意见。</P>
<P>注5：分形几何学是新近发展起来的数学分支，该学科与复分析(Complex Analysis)、微分方程(Differential Equation)、动力系统(Dynamic System)、混沌理论(Chaos Theory)等数学分支均有密切关系。</P>
<P>注6：例如以下联立方程便是矛盾的：x+y=1；x+y=2，我们不可能找到x和y的值同时满足这两条方程。</P>
<P>注7：当其中一条方程是另一条方程的倍数时，该组联立方程就是线性相关的。例如以下联立方程就是线性相关的：x+y=1；2x+2y=2。这里其实只有一条方程，因此有无限多个解，例如x=2，y=-1；x=3，y=-2等等都是这组联立方程的解。</P>
<P>注8：上述此情况只是在忽略空气阻力(即一种磨擦力)下才成立。实际上，由于空气阻力的存在，弹弓的振动会随在时间而减弱，并且最终停止。</P>
<P>注9：例如sin(x)这函数便以2π为周期，即sin(x+2π)=sin(x)。</P>
<P>注10：非欧几何是指不承认欧几里德第五公设的几何学，包括罗巴切夫斯基(Lobachevsky)和鲍耶(Bolyai)各自创立的罗氏几何，和黎曼(Riemann)创立的黎曼几何。</P>
<P>注11：粗略地说，两个曲面是同胚的如果我们可以用挤压或拉伸等方法(但不容许撕破或戮穿)把其中一个曲面变为另一个曲面，例如圆形面就与正方形面同胚。 <BR></P>
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