关于扁担挑运力学原理的注记

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　　扁担是常见的运输工具，与双手提运相比，扁担挑运避免了手臂及肘肩关节的承载，效率较高。与双肩背负相比，扁担挑运使身体处于直立状态，双肩可以交替承载以降低肌肉疲劳。除非行走于坡路和台阶，物品通常以较长的绳索悬挂于扁担两端，挑运者可便利地搁置荷物以休息。扁担近似为等强度的悬臂梁降低了刚度，避免行走过程中肩部高低变化引起扁担一荷物系统的振动，降低动载荷。不过，笔者觉得，使荷物产生较大的振动正是扁担力学特性优良的标致。

　　1. 肩部垂直激励引起的振动
　　馄饨摊子、剃头挑子、箍桶担子等用物，重量较轻，扁担挑运时与平常步行差别不大。人自由行走过程中双腿轮流支撑和摆动(图1)。人挑担时每秒可以走1.5~2步(左右脚各迈一次为两步)，即步频f为1.5~2Hz，角频率ω=2πf，大致在10rad/s左右。

　　图1 自由行走过程中的步态及肩高变化

　　在一个步态周期中，支撑时间大致占60%~65%，其中有两次双腿支撑时段，各占10%~15%;摆动时间占40%~35%，又可细分为起始加速段、中间摆动段和终结减速段。随着行走速度增加，支撑时间缩短，当其减少到50%，即没有双腿共同支撑时段，就从“走”转入“跑”的状态。

　　双腿支撑时人体重心较低，摆动腿越过直立的支撑腿时重心较高。肩部高度也会产生相应变化，对扁担提供垂直方向的振动激励。基于对称性，扁担前后两部分可以同时绕支承点即肩部振动，可假设为端部有集中质量的悬臂梁(图2)，则扁担末端荷物偏离平衡位置的垂直位移y 满足方程

　　式中，m 是一端的荷物和半根扁担等效质量之和;K 是悬臂梁的刚度，与其长度的三次方成反比，与厚度的三次方及宽度成正比;yJ 为肩部的垂直振动，近似写为

　　位移以向下为正。

　　图2 肩部垂直激励引起的荷物振动

　　记扁担一荷物系统的固有角频率

　　则可以得到稳态解，即荷物的受迫振动

　　λ 为扁担末端也就是荷物的振幅。若ωB大于人行走角频率ω，那么荷物振动就与肩部激励具有相同的相位，且振动幅度增大，引起对肩部的附加作用力

　　由于双腿支撑时肩部达到低位，即yJ >0，扁担对肩部向下作用力达到最大，而中间摆动段单腿支撑时扁担的附加作用力成为负值，即肩部的载荷减小，有利于步态中重心提高和前移的实现。若振幅λ 为3cm，即扁担末端以及荷物上下振动6cm，步行的角频率为10rad/s，那么肩部承载的最大载荷为肩上荷物重量的130%，而最小时为70%。人会在肩部载荷较小时单足承载，迈步向前。

　　实际振动系统中存在黏性阻尼，引起振幅减小和相位变化，为简单起见没有考虑。

　　2. 水平激励引起的荷物摆动
　　在挑运水、泥土等较重物品如时，通常挑担者会提高步频以减小步幅，且支撑腿膝盖也会略作弯曲，将引起肩部对扁担垂直激励的减弱。另一方面，人双脚交替向前，脚落地支承人体时，其速度为零。尽管存在双脚同时立地的短暂时刻，人体上身因惯性作用似乎并不存在速度为零的时刻，不过向前的速度总不是均匀的。左脚向前和右脚向前时，身体会略作转动，使得承载扁担的肩部速度不同

　　式中，u0是人体向前的平均速度，u(t) 是脉动速度，以左右脚各迈一步为一个变化周期，即扁担向前速度的角频率ωP=πf，是前述步行角频率ω的一半。挑运重物时，ωP可以达到6rad/s以上，即左右脚每秒钟可以各迈一步。

　　扁担挑运时多利用绳索悬挂荷物，荷物类似于单摆可以作前后摆动(图3)。荷物质心距悬挂点的距离通常在1m左右，人也可用手扶持绳索以缩短摆臂长度，其角频率

　　在3~4rad/s的范围，低于角频率ωP。

　　图3 荷物摆动的力学模型

　　在以速度u0匀速向前的坐标系观察，扁担存在

　　的水平激励，或者说肩部的脉动速度可写为

　　若右肩承载扁担，则从图1的步态示意图可以看出，右腿摆过左腿，速度u(t) 达到最大，指向前方;而其支撑、被左腿摆过时u(t) 达到最小，指向后方。相应的u(t)均为0。b(t)的最小值在双腿支撑、右腿开始摆动之前，而b(t)的最大值在右腿结束摆动进入双腿支撑之后。

　　若不考虑荷物上下振动对摆动的影响，在水平激励b(t)的作用下，荷物摆动满足方程

　　整理上述两个方程可以得到：

　　摆角θ实际上是一个小量，将上式取一阶近似，得到稳态解：

　　与人体向前运动b(t)的频率一致，而相位差为π，或者说相反。Lθ的幅值大于b(t)的幅值η。

　　扁担前后荷物的振动相位相同，绳索张力的水平作用相同。从图1可以看出，当u(t)>0时相当于右腿向前摆动，扁担向前加速时荷物提供向前的水平拉力，而减速时荷物提供向后的拉力，有利于人的向前运动;当扁担达到图3中最前端后右腿支撑，u(t)<0而荷物向前运动，荷物对扁担施加向前的水平力不利于左腿向前摆动。即通过增加左腿摆动的难度，使右腿摆动较为容易，而荷物是通过扁担支承在右肩上的。

　　荷物水平方向的位移是

　　荷物较重时，人多是小步快走，增大ωP而减小B(t)，可以缓和行走困难。若摆长1m，B(t) 只有b(t) 的25%，即悬索具有减振功能。实际振动还存在黏性阻尼，荷物在水平方向的位移幅度将更小。尽管角度θ在周期性变化，荷物却没有明显的水平振动而匀速向前。

　　3. 扁担挑物的力学模型
　　挑运者行走速度的波动将引起荷物的摆动，使绳索内载荷周期变化，其竖直分量的变化将激励扁担即悬臂梁的振动。因而，扁担系统是由两个振动子系统复合而成(图4)。扁担挑物时完整的力学模型如图5所示，具有弹性支承的单摆，支座在水平方向受到外界的激励。另外，扁担的平衡位置并非呈水平状态，其端部的水平位移和竖直位移也是耦合的。为简单起见，下面所作的定性说明对此没有加以考虑。

　　图4 扁担系统的示意图

　　图5 扁担挑物的力学模型

　　以挑担者平均速度u0向前的坐标系中，荷物摆动到悬挂点正下方时速度最大，竖直方向的载荷由重力和离心力构成，也达到最大。荷物达到最大摆角时，离心力为零，且绳索中载荷F 小于荷物重量。荷物来回摆动一个周期，绳索中张力F 变化两个周期，即角频率为2ωP，与步行角频率ω一致。若扁担一荷物的固有角频率ωB与人行走角频率ω相近，扁担就有较大的垂直振幅。

　　挑运重物时人会小步快走，尽管肩部高低变化减小，但水平激励同样可以引起荷物在竖直方向的共振。共振时激励与响应的相位角相差π/2，即激励载荷较小时竖直位移最大，而激励载荷较大时竖直位移最小。在b(t)=0，θ=0时，荷物处于较高位置;而b(t) 约和θ 达到极限值时，荷物处于较低位置。因而双腿支承时扁担对肩部的载荷较大，左右腿摆动时扁担对肩部载荷较小，这有利于挑运者迈步向前。当然，具备如此特性的才是合用的“好扁担”。

　　会挑担的人起肩时常有意识地对扁担初始激振，确认扁担的固有振动频率之后，随其节奏而迈步。这也表明扁担的振动确实接近共振状态。

　　4. 结 语
　　因使用场合不同，扁担具有多种形式。上面只是对平路担物的定性说明。若担物行走于坡路或台阶，只能使用较短的绳索悬挂荷物，乃至直接将荷物捆绑在扁担的端部。而为了避免行走速度不均引起的各种不规则振动，需要增加扁担的刚性，如重庆的“棒棒”就使用抗弯能力较好的竹杠。至于陡峭的山路，只能放弃肩挑而选用背驮的方式运物。

　　即使是平路担物，扁担的优良特性也需要担物者充分练习才能实现。如前所述，行走速度的不均匀必然引起荷物前后摆动，两侧绳索内载荷若不能同步变化，就可能引起扁担的不平衡。不会挑担的人多是用双手在肩部前方握紧扁担，施加托力或压力，而托力或压力总是滞后和超调的，势必引起扁担以肩部为支点转动。加之扁担对人是偏心加载，走动之中又会产生左右晃动。荷物的前后摆动，扁担的上下转动，人体的左右晃动，三动齐来，全无规则，只能叹息一声，停步歇担。其后会抓紧悬绳乃至缩短悬绳直接拉住荷物，以阻止其大幅度摆动，这将引起手臂以及肩肘关节的疲劳。最后扁担还会上下转动，双手只能再次去辅助支承扁担。当然，只要坚持，终有一天能够将右侧手腕轻松地搁在扁担上，左侧手臂自由地甩动，轻快地迈步向前。

　　参考文献：
　　[1] 张义同，张岚. 关于扁担的力学. 力学与实践，2002, 24 (5): 76-78
　　[2] 刘延柱. 步行运动的动力学解释. 力学与实践，1990, 12 (1): 19-22
　　[3] 吴剑，李建设.人体行走时步态的生物力学研究进展. 中国运动医学杂志，2002, 21 (3): 305-307
　　[4] 师汉民，湛刚，吴雅. 机械振动系统. 武汉: 华中科技大学出版社，1992. 56-58

　　来源：尤明庆科学网博客，作者：尤明庆。