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[其他相关] 关于扁担挑运力学原理的注记

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发表于 2018-7-6 16:23 | 显示全部楼层 |阅读模式

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  扁担是常见的运输工具,与双手提运相比,扁担挑运避免了手臂及肘肩关节的承载,效率较高。与双肩背负相比,扁担挑运使身体处于直立状态,双肩可以交替承载以降低肌肉疲劳。除非行走于坡路和台阶,物品通常以较长的绳索悬挂于扁担两端,挑运者可便利地搁置荷物以休息。扁担近似为等强度的悬臂梁降低了刚度,避免行走过程中肩部高低变化引起扁担一荷物系统的振动,降低动载荷。不过,笔者觉得,使荷物产生较大的振动正是扁担力学特性优良的标致。

  1. 肩部垂直激励引起的振动
  馄饨摊子、剃头挑子、箍桶担子等用物,重量较轻,扁担挑运时与平常步行差别不大。人自由行走过程中双腿轮流支撑和摆动(图1)。人挑担时每秒可以走1.5~2步(左右脚各迈一次为两步),即步频f为1.5~2Hz,角频率ω=2πf,大致在10rad/s左右。
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  图1 自由行走过程中的步态及肩高变化

  在一个步态周期中,支撑时间大致占60%~65%,其中有两次双腿支撑时段,各占10%~15%;摆动时间占40%~35%,又可细分为起始加速段、中间摆动段和终结减速段。随着行走速度增加,支撑时间缩短,当其减少到50%,即没有双腿共同支撑时段,就从“走”转入“跑”的状态。

  双腿支撑时人体重心较低,摆动腿越过直立的支撑腿时重心较高。肩部高度也会产生相应变化,对扁担提供垂直方向的振动激励。基于对称性,扁担前后两部分可以同时绕支承点即肩部振动,可假设为端部有集中质量的悬臂梁(图2),则扁担末端荷物偏离平衡位置的垂直位移y 满足方程
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  式中,m 是一端的荷物和半根扁担等效质量之和;K 是悬臂梁的刚度,与其长度的三次方成反比,与厚度的三次方及宽度成正比;yJ 为肩部的垂直振动,近似写为
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  位移以向下为正。
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  图2 肩部垂直激励引起的荷物振动

  记扁担一荷物系统的固有角频率
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  则可以得到稳态解,即荷物的受迫振动
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  λ 为扁担末端也就是荷物的振幅。若ωB大于人行走角频率ω,那么荷物振动就与肩部激励具有相同的相位,且振动幅度增大,引起对肩部的附加作用力
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  由于双腿支撑时肩部达到低位,即yJ >0,扁担对肩部向下作用力达到最大,而中间摆动段单腿支撑时扁担的附加作用力成为负值,即肩部的载荷减小,有利于步态中重心提高和前移的实现。若振幅λ 为3cm,即扁担末端以及荷物上下振动6cm,步行的角频率为10rad/s,那么肩部承载的最大载荷为肩上荷物重量的130%,而最小时为70%。人会在肩部载荷较小时单足承载,迈步向前。

  实际振动系统中存在黏性阻尼,引起振幅减小和相位变化,为简单起见没有考虑。

  2. 水平激励引起的荷物摆动
  在挑运水、泥土等较重物品如时,通常挑担者会提高步频以减小步幅,且支撑腿膝盖也会略作弯曲,将引起肩部对扁担垂直激励的减弱。另一方面,人双脚交替向前,脚落地支承人体时,其速度为零。尽管存在双脚同时立地的短暂时刻,人体上身因惯性作用似乎并不存在速度为零的时刻,不过向前的速度总不是均匀的。左脚向前和右脚向前时,身体会略作转动,使得承载扁担的肩部速度不同
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  式中,u0是人体向前的平均速度,u(t) 是脉动速度,以左右脚各迈一步为一个变化周期,即扁担向前速度的角频率ωP=πf,是前述步行角频率ω的一半。挑运重物时,ωP可以达到6rad/s以上,即左右脚每秒钟可以各迈一步。

  扁担挑运时多利用绳索悬挂荷物,荷物类似于单摆可以作前后摆动(图3)。荷物质心距悬挂点的距离通常在1m左右,人也可用手扶持绳索以缩短摆臂长度,其角频率
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  在3~4rad/s的范围,低于角频率ωP
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  图3 荷物摆动的力学模型

  在以速度u0匀速向前的坐标系观察,扁担存在
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  的水平激励,或者说肩部的脉动速度可写为
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  若右肩承载扁担,则从图1的步态示意图可以看出,右腿摆过左腿,速度u(t) 达到最大,指向前方;而其支撑、被左腿摆过时u(t) 达到最小,指向后方。相应的u(t)均为0。b(t)的最小值在双腿支撑、右腿开始摆动之前,而b(t)的最大值在右腿结束摆动进入双腿支撑之后。

  若不考虑荷物上下振动对摆动的影响,在水平激励b(t)的作用下,荷物摆动满足方程
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  整理上述两个方程可以得到:
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  摆角θ实际上是一个小量,将上式取一阶近似,得到稳态解:
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  与人体向前运动b(t)的频率一致,而相位差为π,或者说相反。Lθ的幅值大于b(t)的幅值η。

  扁担前后荷物的振动相位相同,绳索张力的水平作用相同。从图1可以看出,当u(t)>0时相当于右腿向前摆动,扁担向前加速时荷物提供向前的水平拉力,而减速时荷物提供向后的拉力,有利于人的向前运动;当扁担达到图3中最前端后右腿支撑,u(t)<0而荷物向前运动,荷物对扁担施加向前的水平力不利于左腿向前摆动。即通过增加左腿摆动的难度,使右腿摆动较为容易,而荷物是通过扁担支承在右肩上的。

  荷物水平方向的位移是
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  荷物较重时,人多是小步快走,增大ωP而减小B(t),可以缓和行走困难。若摆长1m,B(t) 只有b(t) 的25%,即悬索具有减振功能。实际振动还存在黏性阻尼,荷物在水平方向的位移幅度将更小。尽管角度θ在周期性变化,荷物却没有明显的水平振动而匀速向前。

  3. 扁担挑物的力学模型
  挑运者行走速度的波动将引起荷物的摆动,使绳索内载荷周期变化,其竖直分量的变化将激励扁担即悬臂梁的振动。因而,扁担系统是由两个振动子系统复合而成(图4)。扁担挑物时完整的力学模型如图5所示,具有弹性支承的单摆,支座在水平方向受到外界的激励。另外,扁担的平衡位置并非呈水平状态,其端部的水平位移和竖直位移也是耦合的。为简单起见,下面所作的定性说明对此没有加以考虑。
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  图4 扁担系统的示意图

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  图5 扁担挑物的力学模型

  以挑担者平均速度u0向前的坐标系中,荷物摆动到悬挂点正下方时速度最大,竖直方向的载荷由重力和离心力构成,也达到最大。荷物达到最大摆角时,离心力为零,且绳索中载荷F 小于荷物重量。荷物来回摆动一个周期,绳索中张力F 变化两个周期,即角频率为2ωP,与步行角频率ω一致。若扁担一荷物的固有角频率ωB与人行走角频率ω相近,扁担就有较大的垂直振幅。

  挑运重物时人会小步快走,尽管肩部高低变化减小,但水平激励同样可以引起荷物在竖直方向的共振。共振时激励与响应的相位角相差π/2,即激励载荷较小时竖直位移最大,而激励载荷较大时竖直位移最小。在b(t)=0,θ=0时,荷物处于较高位置;而b(t) 约和θ 达到极限值时,荷物处于较低位置。因而双腿支承时扁担对肩部的载荷较大,左右腿摆动时扁担对肩部载荷较小,这有利于挑运者迈步向前。当然,具备如此特性的才是合用的“好扁担”。

  会挑担的人起肩时常有意识地对扁担初始激振,确认扁担的固有振动频率之后,随其节奏而迈步。这也表明扁担的振动确实接近共振状态。

  4. 结 语
  因使用场合不同,扁担具有多种形式。上面只是对平路担物的定性说明。若担物行走于坡路或台阶,只能使用较短的绳索悬挂荷物,乃至直接将荷物捆绑在扁担的端部。而为了避免行走速度不均引起的各种不规则振动,需要增加扁担的刚性,如重庆的“棒棒”就使用抗弯能力较好的竹杠。至于陡峭的山路,只能放弃肩挑而选用背驮的方式运物。

  即使是平路担物,扁担的优良特性也需要担物者充分练习才能实现。如前所述,行走速度的不均匀必然引起荷物前后摆动,两侧绳索内载荷若不能同步变化,就可能引起扁担的不平衡。不会挑担的人多是用双手在肩部前方握紧扁担,施加托力或压力,而托力或压力总是滞后和超调的,势必引起扁担以肩部为支点转动。加之扁担对人是偏心加载,走动之中又会产生左右晃动。荷物的前后摆动,扁担的上下转动,人体的左右晃动,三动齐来,全无规则,只能叹息一声,停步歇担。其后会抓紧悬绳乃至缩短悬绳直接拉住荷物,以阻止其大幅度摆动,这将引起手臂以及肩肘关节的疲劳。最后扁担还会上下转动,双手只能再次去辅助支承扁担。当然,只要坚持,终有一天能够将右侧手腕轻松地搁在扁担上,左侧手臂自由地甩动,轻快地迈步向前。

  参考文献:
  [1] 张义同,张岚. 关于扁担的力学. 力学与实践,2002, 24 (5): 76-78
  [2] 刘延柱. 步行运动的动力学解释. 力学与实践,1990, 12 (1): 19-22
  [3] 吴剑,李建设.人体行走时步态的生物力学研究进展. 中国运动医学杂志,2002, 21 (3): 305-307
  [4] 师汉民,湛刚,吴雅. 机械振动系统. 武汉: 华中科技大学出版社,1992. 56-58

  来源:尤明庆科学网博客,作者:尤明庆。

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