简谐振动之运动方程

娜迦海妖

在 A-Level 物理课程中，简谐振动是一个很重要的知识点。根据定义，凡是加速度和偏离平衡位置的位移之间有大小成正比、方向相反关系的运动，就被称作为简谐振动（simple harmonic oscillation）。这个定义可以写成一个简单明了的方程式：

给定初始条件，就可以解出位移随时间变化的函数关系，通常会被表示为如下的形式：

从定义式直接省略 3000 字跳到这个通解，你只需要三件东西：一个懒得跟你多废话的物理老师，一本觉得跟你扯闲话就能把你整明白的物理教材，以及对必要的推导过程不作要求的考试大纲。

下面我们将会看到，想要推导简谐振子的运动方程，其实你需要的只是一些非常基础的数学知识。好叻，我们开始推倒推导吧！

解法一：二阶微分方程标准解法
注意到微分方程 的形式， 的二阶导数跟它自己依然有能力同归于尽，对它求了两次导数之后，它音容犹在，我们能想到的具有这个性质的，便是我们在小学四年级就学到过的指数函数了。于是我们可以猜想方程的解会具有形如   的形式。容易验证，将 代入原方程中可以得到：

于是待定系数 有两个可取的值：

符合原方程的通解现在可以写作：

可以是任意常数，甚至可以是复数（complex number）。目前看起来有点大事不妙，好好的一个位移函数现在被搞成了一个复数函数（complex function）。但是我们知道，这个位移只有取实数值才有物理意义。我们限定   在任意时刻都是实数，那么  的复共轭（complex conjugate）与它自身相等，即 ：

由此得到两个常系数之间满足关系：

我们不妨重新将常数写作： ，以及 于是通解可以被进一步写成如下的形式：

利用我们小学五年级就熟悉的欧拉公式： ，我们很容易发现：

如果我们重新定义新的常数 ， 那么最终得到：

解法二：利用运动学公式作积分变换
利用小学三年级的科学课堂里大家已经知道的位移、速度、加速度的关系，以及非常基础的链式求导法则（chain rule），我们就可以得到：

代入简谐振子的定义公式   中，我们有：

两边积分，可以得到关于速度 的一个表达式： ，其中   是一个积分常数，它的值由简谐振子的初始运动状态决定。不难想到，通过引入一个新的常数 ，就可以将 写作 ，这样速度 就可以写成：

我们要面对的方程，已经降次变成了一个   关于   的一阶微分方程。想必大家在小学六年级时早就对这类方程的解法烂熟于胸，我们可以分离变量，再两边积分。

左边的积分是你上幼儿园的弟弟都知道怎么做的，结果就是 。右边的积分略有些技术含量，似乎要用到一些初中才会学到的积分换元法。

用三角换元，令 ，那么 ，以及， 。通通丢回积分里边去，

其中   为积分常数，取值同样由初始条件决定。作逆变换回归到位移   上，我们发现：

我们重新定义常数 ，并且注意到幼儿园就学过的 cosine 函数的偶函数性质，上面的解可以最终写成如下更为人所熟知的形式：