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[其他相关] 简谐振动之运动方程

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发表于 2020-11-20 14:57 | 显示全部楼层 |阅读模式

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在 A-Level 物理课程中,简谐振动是一个很重要的知识点。根据定义,凡是加速度和偏离平衡位置的位移之间有大小成正比、方向相反关系的运动,就被称作为简谐振动(simple harmonic oscillation)。这个定义可以写成一个简单明了的方程式:
1.png
给定初始条件,就可以解出位移随时间变化的函数关系,通常会被表示为如下的形式:
2.png
从定义式直接省略 3000 字跳到这个通解,你只需要三件东西:一个懒得跟你多废话的物理老师,一本觉得跟你扯闲话就能把你整明白的物理教材,以及对必要的推导过程不作要求的考试大纲。

下面我们将会看到,想要推导简谐振子的运动方程,其实你需要的只是一些非常基础的数学知识。好叻,我们开始推倒推导吧!

解法一:二阶微分方程标准解法
注意到微分方程 3.png 的形式, 4.png 的二阶导数跟它自己依然有能力同归于尽,对它求了两次导数之后,它音容犹在,我们能想到的具有这个性质的,便是我们在小学四年级就学到过的指数函数了。于是我们可以猜想方程的解会具有形如   5.png 的形式。容易验证,将 6.png 代入原方程中可以得到:
7.png
于是待定系数 8.png 有两个可取的值: 9.png

符合原方程的通解现在可以写作:
10.png
11.png 可以是任意常数,甚至可以是复数(complex number)。目前看起来有点大事不妙,好好的一个位移函数现在被搞成了一个复数函数(complex function)。但是我们知道,这个位移只有取实数值才有物理意义。我们限定   12.png 在任意时刻都是实数,那么  的复共轭(complex conjugate)与它自身相等,即 13.png
14.png
由此得到两个常系数之间满足关系: 15.png

我们不妨重新将常数写作: 16.png ,以及 17.png 于是通解可以被进一步写成如下的形式:
18.png
利用我们小学五年级就熟悉的欧拉公式: 19.png ,我们很容易发现:
20.png
如果我们重新定义新的常数 , 21.png 那么最终得到:
22.png

解法二:利用运动学公式作积分变换
利用小学三年级的科学课堂里大家已经知道的位移、速度、加速度的关系,以及非常基础的链式求导法则(chain rule),我们就可以得到:
23.png
代入简谐振子的定义公式 24.png   中,我们有:
25.png
两边积分,可以得到关于速度 26.png 的一个表达式: 27.png ,其中   28.png 是一个积分常数,它的值由简谐振子的初始运动状态决定。不难想到,通过引入一个新的常数 29.png ,就可以将 30.png 写作 31.png ,这样速度 32.png 就可以写成:
33.png
我们要面对的方程,已经降次变成了一个   34.png 关于 35.png   的一阶微分方程。想必大家在小学六年级时早就对这类方程的解法烂熟于胸,我们可以分离变量,再两边积分。
36.png
左边的积分是你上幼儿园的弟弟都知道怎么做的,结果就是 37.png 。右边的积分略有些技术含量,似乎要用到一些初中才会学到的积分换元法。

用三角换元,令 38.png ,那么 39.png ,以及, 40.png 。通通丢回积分里边去,
41.png
其中   42.png 为积分常数,取值同样由初始条件决定。作逆变换回归到位移   43.png 上,我们发现:
44.png
我们重新定义常数 45.png ,并且注意到幼儿园就学过的 cosine 函数的偶函数性质,上面的解可以最终写成如下更为人所熟知的形式:
46.png

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