随机振动响应应力的谱矩特征

不可思议

在《随机振动中Grms值得计算》中，推导出了随机振动加速度谱密度的Grms值计算，然而这个公式推导的意义并非仅仅是计算Grms值，其在频域法随机振动的伤害值计算过程中更有着关键的作用。

通过频域法进行随机振动响应分析，可以得到单元的应力谱密度曲线，如下图：

上图的单元应力谱密度曲线，在形式上与加速度谱密度曲线是一致的，因此我们可以通过求曲线包围的面积，然后再开方得到其σRMS，也就是1 RMS应力，考虑到我们研究的随机振动是均值为0的振动，因此1 RMS应力就是1 σ应力。

其实，1 σ应力的计算是应力谱密度曲线的0阶谱矩，一般来说，采用频域法进行伤害值计算时，我们需要用到0阶、1阶、2阶和4阶谱矩来描述应力幅值/应力范围的概率密度函数。下面将利用上篇文章的推导过程来计算随机振动响应应力谱密度曲线的n阶谱矩。

假定Mj是单边谱密度的N阶谱矩：

其中G(f)的单位是MPa2/Hz

改写成通用格式：

因此：

其中：

所以：

令m/3=N:

这样就得到了响应应力谱密度曲线n阶矩的计算公式，容易得到：

其中：

而：

因此：

根据响应应力谱密度曲线的形状不同，平稳过程大致可以分为窄带过程和宽带过程，为区别窄带和宽带过程，引入一个量-不规则因子：

此外，根据响应应力谱密度曲线还可以进一步计算出单位时间内正斜率穿越零值次数的数学期望E0和单位时间内出现峰值的次数的数学期望EP，计算公式如下：

其中M0，M2，M4为响应应力谱密度曲线的0阶矩，2阶矩和4阶矩

因此，不规则因子为：

当γ趋近于1时，随机振动趋近于单一频率的窄带谐波信号；当γ趋近于0时，随机振动趋近于宽带白噪声信号。

其实，当γ等于1时，为正弦信号；当γ等于0时，为宽带白噪声信号。

为了来让大家理解下为什么正弦信号的γ等于1，我们先来试着理解下图的例子：

上图给出了1s时间内应力时域曲线，其中黄色原点为正斜率穿越零值点，蓝色叉号为峰值点，容易得到：

因此：

对于正弦信号来说，观察时域信号图可以发现其每个正斜率穿越零值点都对应1个峰值点，也就是说γ等于1。

对于宽带白噪声信号，其在时域上遵循高斯分布，在频域上PSD遵循均匀分布：

因为：

所以：

那么：

不规则因子为：

考虑到N=0，则：

令:

则：

X的取值范围应该是1到+∞，绘制γ与x的曲线（X范围从1到100）：

从上图可以发现白噪声的不规则因子γ应该在0.75到1之间，而一般认为白噪声的γ为0，不知道是不是我的理解有问题。（如果谁知道原因，还请指教！）

为了让大家直观的了解窄带和宽带过程，下图给出了其时域信号和对应的功率谱密度：

对于窄带随机振动，在频域上（PSD图），其频率成分仅仅分布在某一窄频带（小于1/3倍频程带宽）；在时域上，其振幅是不断调整变化的，类似于拍振。

对于宽带随机振动，在频域上（PSD图），其频率成分往往分布在较宽的频带（大于等于1个倍频程带宽），一般会包含很多个独立的峰值或者一个包含较宽频率范围的峰值；在时域上，通常很难被识别，但是通常可以利用正波谷和负波峰数来辨别。

yebudajiangyou

讲得真不错