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[随机振动] 随机振动中Grms值得计算

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发表于 2022-5-5 13:35 | 显示全部楼层 |阅读模式

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对于随机振动,任意时刻的振动加速度大小是不可预测,但加速度大小在某一区间的概率是可知的,因此随机振动的特性只能采用统计学的方式来描述。

为了衡量随机振动的能量,我们一般会使用到Grms值,那么Grms值是什么呢?Grms值怎么计算呢?

Grms值的描述非常简单,它就是加速度密度曲线在其频率范围内面积的平方根,但是要从物理上解释这个值,我们需要从不同的角度看待Grms。理解Grms的最简单的方式就是先看均方加速度。

均方加速度就是整个时域上的加速度的平方的平均值,也就是先将时域上的每个加速度值平方,然后再求这些加速度平方值的平均值,采用均方加速度值能保证所有的值为非零的。
1.png
理解了均方加速度,那么Grms就容易了,我们只需要将均方加速度开方就可以得到Grms值。

如果加速度计的时域信号是一个平均值为零的纯正弦信号,那么其均方根加速度是正弦加速度幅值的 2.png 倍;如果加速度计的时域信号是一个平稳的高斯随机振动,那么它的均方根加速度(或者叫1 3.png 加速度)就是这个时域信号的一个统计学特性:

  · 68.3%的时间,加速度的时域信号的峰值不超过 4.png
  · 95.4%的时间,加速度的时域信号的峰值不超过 5.png
  · 99.7%的时间,加速度的时域信号的峰值不超过 6.png

对于高斯随机变量,理论上没有最大值,但是我们采用 7.png 来作为其最大值,因为只有3%的时间超过水平。此外,从实际角度来说,更高水平的情况不应该发生(小概率事件不可能发生)。

典型的随机振动曲线如下图:
8.png
要计算整个曲线的Grms值,就是计算加速度密度曲线在其频率范围内面积的平方根,考虑到曲线的非规则性,可分别计算每段曲线所围成的面积,然后再加和得到整个曲线的面积,最终通过将总面积开方得到整个曲线的Grms值。

下面将详细介绍下如何根据加速谱密度曲线来计算Grms:
9.png
1.计算上图红色区域的频率范围包含多少个倍频程:
10.png
2.计算该范围加速度谱密度的dB值:
11.png
3.计算该频率范围内加速度谱密度曲线的斜率m:
12.png
4.计算在该频率范围内,加速度谱密度曲线所包围的面积A:
13.png
为了求解上面的积分,我们需要进行如下转化,首先根据m的定义,得到如下表达式:
14.png
由上式可以得到:
15.png
也就是:
16.png
从而:
17.png
改写成通用形式:
18.png
此时我们就可以利用该式来求解面积的积分了:
19.png
因为:
20.png
可得:
21.png
所以:
22.png
需要注意的是,当 23.png 时上式分母为零,不适用。

下面将推导 24.png 时的计算公式,由上文可知:
25.png
而:
26.png
因此:
27.png
也就是:
28.png
那么:
29.png
改成通用格式:
30.png
此时我们就可以利用该式来求解当 31.png 时的面积了:
32.png
5.最终我们就可以利用面积A计算该频率范围的Grms值了:
33.png
6.为了计算整个加速度谱密度曲线的Grms值,我们需要将所有频率范围内曲线围成的面积求和,然后再开方:
34.png
对于随机振动试验,通常大家会习惯使用总均方根加速度(Grms)来衡量随机振动试验的严苛程度,但是从严谨角度来说,这并不是完全准确的,因为Grms值是通过加速度谱密度在全频段范围内的面积开根号得到的,并不包含任何频率信息,简单举个例子,假设在5-600Hz范围内的Grms值是5.23G,则下图中的两个加速度谱密度曲线都满足要求:
35.png
图中的黄色和蓝色加速度谱密度曲线在20-600Hz的总均方根都是5.23G,但是显而易见的是,20Hz到100Hz范围内黄色加速度密度谱的Grms值会更大,因此在该子频率范围内黄色加速度密度谱的振动更苛刻。

举个容易理解但可能并不是很严谨的例子,假设新冠病毒的不同变种A和B的致死率一样(就像Grms一样),但A变种对老人的致死率更高,B变种对年轻人的致死率更高,那么哪个更危险呢?

综上所述,在对比不同的随机振动标准时,不能仅用总均方根作为判断标准,还应该根据产品的共振特性和整个随机振动的频率范围来综合考虑。

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