求助：这样一个矩阵问题有完全解吗？

三口一瓶 · 发表于 2006-1-12 23:56

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我现在遇到一个数学问题如下：A为n×n对称矩阵，p为n维列向量，q为n维行向量，其中A和p已知，且p的元素均为正，求q使得矩阵（A+p*q）为正定，以上均为实数矩阵。请问这个数学问题有完全解吗？

smtmobly · 发表于 2006-1-13 21:41

这个有很多解啊！因为这里正定可以用它的特征值非负并且至少有一个不为0 代替 那么求它的特征值方程：(A+pq)x=sx 则：得到q=(sI-A)/p 这里看成算了运算所有s与q构成一对，并且对任意的s都存在p使得这个方程成立

三口一瓶 · 发表于 2006-1-14 03:05

非常感谢楼上兄弟的帮忙，在下认为上面的解答似乎还值得商榷。 如果用p*q=s*I-A，因为未知的数据是q和s，左边矩阵的秩固定为1，而右边则无法保证，因此在下认为直接用 矩阵相等无法得到完全的解答。

三口一瓶 · 发表于 2006-1-14 04:39

我的思路是这样的：可以找到n-1个行向量，分别记为q1,q2,...qn-1,均满足qi*p=0;这n-1个行向量组成一个矩阵记为Q， 让(A+pq)x=sx两端左乘Q，由Q*p={0}，则有 Q*A*x=s*Q*x，于是有Q*(A-sI)*x=0; 至此我不知道怎样推理下去了，要有非零解x，对s有何要求？而且左乘后的等式是必要条件，不是充要条件。还请各位不吝赐教啊。

[此贴子已经被作者于2006-1-14 4:40:03编辑过]

kaien · 发表于 2006-4-4 05:07

我认为这样的q是可以找到的。 关键的推理思路： 1。特征值的表示方法 s=(x'(A+pq')x)/||x||^2 ; x!=0 2。寻找矩阵pq'的特征（s,v）关于q的关系。=〉（q-s(p/||p||^2)）和v正交 3。关于正定矩阵特征值非负的性质。

xj2070 · 发表于 2006-4-4 13:00

(1) if there is an solution about the vector q,V'SV-A should be of rank one V'is unitary matrix; S is diagonal matrix and postive V'V=VV'=I (2)V'sV-A is symmetrical, it may result in that q=kp' k is a positive integer

kaien · 发表于 2006-4-5 04:23

看到楼上的朋友给出了自己的解法。那么我也给出一个我的解法吧。 时间有限，不一定成熟，就把我对这个问题最初的想法解释一下： 具体求解方法： 1。求出A的特征值s和特征向量v。可以构造矩阵B=p*q使得他的一个特征向量和A的特征向量相同。那么其特征值s_1就必须满足s+s_1>0。 （具体原因可以参考上次回应中的第1点） 2。我们可以取n个值，作为B的特征值使其满足s+s1>0.这一点很好实现。 3。我们有关系: q*v = s_1(p'v/||p||^2); 也就是说，对于任意的s(A的特征值)我们都可以找到一个s_1(作为p*q的特征值),以及A关于s的特征向量v。 又因为p是给定的正向量，即||p||不等于零。 所以，3。中的关系式右边是完全可以求解的。这个关系式就变成了： q*v=K. 且K=s_1(p'v/||p||^2)且可求解 所以，q就是一个满足q*v=K的超平面。 具体确定一个向量q也很简单，方法很多了。我们可以这样做： 取A的所有特征值si和特征向量vi.这样就可以得到一个线性方程组。 （S） q*vi=Ki; 其中Ki=s_1i(p'vi)/||p||^2)； si+s_1i>0 找到这个方程组的一个解就行了。 （因为这个方程组中vi都是线性无关的。所以，如果A是满rank的那么，那么这个方法就可以找到一个q来。 如果A不是满rank的，那么这种方法就可以找到不止一个解了。但可以证明解总是存在的）[em05]

beaver · 发表于 2006-4-9 19:41

正定阵的特征值全为正啊。

beaver · 发表于 2006-4-9 19:54

<DIV class=quote>以下是引用三口一瓶在2006-1-12 23:56:33的发言： 我现在遇到一个数学问题如下：A为n×n对称矩阵，p为n维列向量，q为n维行向量，其中A和p已知，且p的元素均为正，求q使得矩阵（A+p*q）为正定，以上均为实数矩阵。请问这个数学问题有完全解吗？</DIV>
 请问楼主，这个问题的来源是什么啊？什么叫完全解呢？

beaver · 发表于 2006-4-9 20:53

<DIV class=quote>以下是引用xj2070在2006-4-4 13:00:16的发言： (1) if there is an solution about the vector q,V'SV-A should be of rank one V'is unitary matrix; S is diagonal matrix and postive V'V=VV'=I (2)V'sV-A is symmetrical, it may result in that q=kp' k is a positive integer </DIV> 正定阵不一定是对称的。所以V'sV-A不一定是对称阵。 Re: from xj2070 (1) IN accordance with the preconditions, V' is hermite matrix it satisfies v'=inverse v (inv(V)sV)'= V'sV, A is symmetrical V'sV-A is symmetrical. (2) just look for some solutions satisfying the requriments but the full sets

[此贴子已经被xj2070于2006-4-16 17:11:08编辑过]

beaver · 发表于 2006-4-9 20:54

<DIV class=quote>以下是引用smtmobly在2006-1-13 21:41:44的发言： 这个有很多解啊！因为这里正定可以用它的特征值非负并且至少有一个不为0 代替 那么求它的特征值方程：(A+pq)x=sx 则：得到q=(sI-A)/p 这里看成算了运算所有s与q构成一对，并且对任意的s都存在p使得这个方程成立 </DIV>
 p不是数，不能做为分母。

beaver · 发表于 2006-4-9 20:58

<DIV class=quote>以下是引用kaien在2006-4-5 4:23:52的发言： 
看到楼上的朋友给出了自己的解法。那么我也给出一个我的解法吧。 时间有限，不一定成熟，就把我对这个问题最初的想法解释一下： 具体求解方法： 1。求出A的特征值s和特征向量v。可以构造矩阵B=p*q使得他的一个特征向量和A的特征向量相同。那么其特征值s_1就必须满足s+s_1>0。 （具体原因可以参考上次回应中的第1点） 2。我们可以取n个值，作为B的特征值使其满足s+s1>0.这一点很好实现。 3。我们有关系: q*v = s_1(p'v/||p||^2); 也就是说，对于任意的s(A的特征值)我们都可以找到一个s_1(作为p*q的特征值),以及A关于s的特征向量v。 又因为p是给定的正向量，即||p||不等于零。 所以，3。中的关系式右边是完全可以求解的。这个关系式就变成了： q*v=K. 且K=s_1(p'v/||p||^2)且可求解 所以，q就是一个满足q*v=K的超平面。 具体确定一个向量q也很简单，方法很多了。我们可以这样做： 取A的所有特征值si和特征向量vi.这样就可以得到一个线性方程组。 （S） q*vi=Ki; 其中Ki=s_1i(p'vi)/||p||^2)； si+s_1i>0 找到这个方程组的一个解就行了。 （因为这个方程组中vi都是线性无关的。所以，如果A是满rank的那么，那么这个方法就可以找到一个q来。 如果A不是满rank的，那么这种方法就可以找到不止一个解了。但可以证明解总是存在的）[em05]</DIV>
可以选取B=p*q的某一个特征向量和A的特征向量相同，但不能保证B=p*q的全部特征向量就是A的特征向量v1, v2, ... ,vn.

[此贴子已经被作者于2006-4-9 21:11:36编辑过]

beaver · 发表于 2006-4-14 11:30

三口一瓶楼主，请问什么叫完全解呢？

[此贴子已经被作者于2006-4-14 11:50:23编辑过]

多情清秋 · 发表于 2006-4-15 21:29

微分方程的齐次解(homogeneous solution)和特解(particular solution)相加就得到系统响应的完全解(complete solution)

beaver · 发表于 2006-4-16 19:25

<DIV class=quote>以下是引用多情清秋在2006-4-15 21:29:17的发言： 微分方程的齐次解(homogeneous solution)和特解(particular solution)相加就得到系统响应的完全解(complete solution)</DIV>多谢多情清秋告诉我！ 完全解也就是系统的所有解喽。

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re:关于找一个解q的计算

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