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本帖最后由 Rainyboy 于 2012-5-23 17:16 编辑
中间由于毕业的原因,离开了振动论坛好久,现在有时间了,我回来啦!
分享一个干摩擦非线性计算中的技巧吧……
在分析干摩擦阻尼器时,常库仑(Coulomb)阻尼模型,即用符号函数来表示摩擦力的大小与接触面相对速度的关系:
摩擦力 = -1×正压力×摩擦系数×sign(相对速度), if 相对速度 != 0
摩擦力 = [-1×正压力×摩擦系数, 正压力×摩擦系数], if 相对速度 == 0
其中,sign()是符号函数,其定义为:
if x >0, sign(x) = 1
if x <0, sign(x) = -1
上述速度-力的关系是分段连续的,这给采用库仑干摩擦假设的模型的求解带来了一些困难,例如在数值积分法中,为了找到接触状态(阻滞,滑移)变化的点,需要精确而合适地设置时间步,降低了求解的效率。在这个文献中,可以找到详细的评述:
Jerry H. Griffin, 1990, A Review of Friction Damping of Turbine Blade Vibration[J].
我之前处理过一个这样的二自由度库仑摩擦模型:
图1
其中采用的就是上述分段连续的摩擦力模型,在采用非线性Newmark方法分析其时序响应时,颇费了一番心思,最后搞了一个自动拆分时间步长的方法才算是较准确地捕捉到接触状态发生变化的时刻,其时序响应(至稳态)大概是:
图2
其中最后一个稳定周期是:
图3
图中各线的意义是:
蓝色- Id 的响应
绿色- 相对运动
红色- Im 的响应
最近仔细看了C. Duan 的系列文章,看到了一种对上述分段连续的摩擦力模型的光顺化处理,即:
摩擦力 = -1×tanh(Sigema × 相对速度)
其中Sigema 只是一个认为确定的系数,可以用来调整光顺化处理之后的曲线与处理前的接近程度。
Sigma越大,则光顺后的曲线越接近经典库仑模型,如下图:
图4
于是,取Sigma = 3, 重新写了一个按照光顺的曲线计算上述二自由度模型的程序,取与图2和图3一致的参数,计算得:
图5
最后一个稳定周期为:
图6
对比图6和图3,可以发现二者的结果非常接近,其中一些细节的差异我想计算过类似问题的同志都能体会出来,我就不赘述了。然而图5,6的计算时间却远少于图2,3(大概少了80%),主要原因就是不用在程序中反复迭代和确认当前时间步的接触状态,与不需要判断接触状态了——因为对于光顺后的摩擦力模型,实际上已经不存在接触状态这一概念了,再小的摩擦力都会对应一个相对运动速度,这以情形在经典的库仑干摩擦模型中实际上应当是归于‘阻滞’(Block)状态的。这些差异对于人来说也许是巨大的,然而,对于计算程序来说,一个很小的速度和速度为零,又有什么区别呢?
最后,给出C. Duan的这篇文章:
Chengwu Duan, Rajendra Singh, 2005, Super-harmonics in a torsional system with dry friction path subject to harmonic excitation under a mean torque, Journal of Sound and Vibration.
这篇文章的亮点不是这个光顺化的处理,但是我确实是在这篇文章中第一次看到这么巧妙的处理。当然,这篇文章提出的算法如果不采用光顺处理后的速度-摩擦力关系恐怕也是行不通的,有兴趣的同志可以搜来看一看。
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