关于模态分析稳态图中功率谱的疑问

yunhui

最近试图自己建立模态分析的稳态图，对其中显示的功率谱的来源有点疑惑，主要问题有两个
1、这里的功率谱是由原始信号直接计算得到的，还是通过谱综合的方法由系统矩阵计算得到的？最好可以给出可靠的依据。
2、如果是参数化谱估计得到的，参数化谱估计的过程会在每条谱线的频率处产生一个功率谱矩阵，最终显示的一条谱线如何由这些矩阵计算出来？

关于第一个问题，看了很多文献也没有找到令人信服的依据，很多人说是由原始信号直接得到的，但是在使用如MACEC这样的商用软件进行分析时，建立稳态图包括其中的功率谱只使用了系统辨识得到的系统矩阵，而没有使用保存原始信号的文件，可见至少在MACEC中不是用原始信号计算的。

关于第二个问题，参数化谱估计的知识了解的有限，暂时没有头绪

希望高手能指点一下，也希望大家能讨论一下这个问题。

westrongmc

从你的描述来看，你应该是做基于响应的模态分析【Output-only Modal Analysis， Operational Modal Analysis,OMA】，建立稳态图时，显示的背景曲线可以称为模态指示函数[Mode Indicator Function,下称MIF】。

显示的MIF与辨识的算法有关系，不同的算法，如Stochastic SubpaceS Indentification SSI,Enhanced Frequency Domain Decomposition EFDD,或者是基于Output-only polyreference Least Square Complex Frequency domain p_LSCF等算法，
参数识别时，利用的数据不一样，显示的MIF也不尽相同。
1. SSI算法，MIF用的较多的是归一的功率谱normalized PSD；
2. EFDD算法，是PSD矩阵进行奇异值分解SVD之后的奇异值 singular values；
3. 响应p_LSCF算法，用的较多是半谱half power spectra，或称为正功率谱positive power spectra.

第1个问题:功率谱计算
一般情况下,PSD计算的方法有相关图方法correlogram approach或者周期图方法periodogram approach【可参考清华大学胡广书写的<数字信号处理-理论、算法与实现>一书】。属于经典谱估计的内容，应该算是非参数化方法，它是以Fourier变换为基础的。

第2个问题:参数化谱估计
　　参数化谱估计一般是指现代谱估计方法，如ARMA谱估计、最大熵谱估计，一般不用于为模态参数辨识提供PSD数据。
至于显示一条曲线，这是由于对PSD进行了归一处理。也可以显示多条曲线，如EFDD算法中，多显示奇异值，有多条曲线，如下所示。




补充内容 (2012-10-21 01:52):
1. 下面的公式左侧的功率谱是用经典谱估计得到的，是作为已知数的；而公式左侧是需要辨识的。楼主搞拧了。
2. 由各响应点的自功率谱求和即可作为MIF.

补充内容 (2012-10-21 01:57):
上面补充内容中，“而公式左侧是需要辨识的”改成“而公式右侧是需要辨识的”。

yunhui

westrongmc 发表于 2012-10-20 00:35

                               
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从你的描述来看，你应该是做基于响应的模态分析【Output-only Modal Analysis， Operational Modal Analysi ...

谢谢你的回答，对我的研究很有帮助，顺着这个思路，还是有疑问想请教你
1、如果是SSI算法，“MIF用的较多的是归一的功率谱normalized PSD”，这里的归一功率谱是如何得到的？如果能推荐相应的参考文献最好了。我看到的参考文献中给出的SSI方法中功率谱的计算公式是
[S_yy(ω)]=[C](z[I]-[A])[G]+[Λ₀]+[G]^T(z^-1[I]-[A]^T)[C]^T
半谱的计算公式是
[S_yy(ω)+]=[C](z[I]-[A])[G]+[Λ₀] /2

2、稳态图中包含的是许多个不同阶次的模型的极点，计算这样的功率谱用的是最大阶次模型的系统矩阵，还是有别的办法综合使用所有阶次模型的系统矩阵？

也欢迎更多的人能加入讨论。

yunhui

这个问题没人会吗？自己再顶一下

westrongmc

看二楼补充内容。

yunhui

westrongmc 发表于 2012-10-22 09:16

                               
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看二楼补充内容。

感谢你的回复，看来你对这个问题也有研究，我们可以讨论一下

1、我在3楼发的公式是根据右侧的系统矩阵计算功率谱的公式，这在许多经典的文献中都有提及，只各列出其中之一作为依据
其中第一个，计算功率谱的公式可参见下面文献的7.2节
Peeters, B. and G. De Roeck, Reference-based stochastic subspace identification for output-only modal analysis. Mechanical Systems and Signal Processing, 1999. 13(6): p. 855-878.
第二个，计算半谱的公式可参见下面文献的4.3节
Reynders, E., R. Pintelon and G. De Roeck, Uncertainty bounds on modal parameters obtained from stochastic subspace identification. Mechanical Systems and Signal Processing, 2008. 22(4): p. 948-969.

因为这样的一个过程与现代谱估计方法类似，所以一直怀疑在稳态图中使用的是现代谱估计的方法。但是如我在3楼所提到的，这样也存在以下的问题
问题1：稳态图中包含了很多阶次模型的辨识结果，应该使用一阶或几阶模型的系统矩阵，如何使用
问题2：如你所提到的，计算功率谱可以有多条途径，哪一种在这样的情况下是更有效的，有没有文献依据

2、直接使用原始测量数据计算功率谱谱线确实是一个行之有效的途径，但是是不是可以不使用这样的方式去实现，如我在1楼所说的，据我观察，至少在MACEC中是没有使用原始测量数据计算功率谱谱线的。而且，在实际的程序中直接使用系统辨识的结果来估计功率谱也应该是有意义的——可以大量节约内存的占用，或者是存取数据的时间，因为OMA在实际中要处理的数据量应该是巨大的。

再次感谢你的补充，期待你的回复

daviddong

yunhui 发表于 2012-10-22 14:10

                               
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感谢你的回复，看来你对这个问题也有研究，我们可以讨论一下

1、我在3楼发的公式是根据右侧的系统矩阵 ...

楼主把简单问题复杂化了。

稳态图是一种工具，可以帮助你鉴别物理模态和计算模态，识别密集模态甚至重根模态。各种函数（模态指示函数、频响之和等）可以重叠显示在稳态图上，以便帮助你对稳态图加以解释。

例如对于试验模态分析EMA来讲，一般比较常见的模态指示函数有：多变元模态指示函数Multivariate Mode Indication Function (MvMIF)、复模态指示函数Complex Mode Indication Function (CMIF)、频响之和summation of the frequency response function power等。另外还有M.Rades D.J.Ewins在XIX-IMAC上提出的componentwise mode indicator function(CoMIF).，下面是个频响函数之和的示例。


而在响应模态分析OMA中,模态指示函数比较常见的就是averaged normalized power spectral density (ANPSD)，sum of PSDs，或者CMIF/FDD(PSD矩阵SVD之后的奇异值)。前面的PSD也可以是PSD+(positive power spectral density)，

既然楼主对MACEC比较熟悉，可参考MACEC 3.2 USER'S MANUAL中的几幅图中的曲线，它们都可以作为MIF之用。


the PSD+ sum is added to the diagram to help you select the physical modes.


(注:上图中没有画出sum of PSD+)

而在EFDD算法中，显示的是CMIF。


另外，楼主关心的PSD是如何求出的，MACEC 3.2 USER'S MANUAL也给出了说明：
PSD是用相关图法或者周期图法得到的。见manual之Page38～41.

yunhui

daviddong 发表于 2012-10-22 23:38

                               
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楼主把简单问题复杂化了。

稳态图是一种工具，可以帮助你鉴别物理模态和计算模态，识别密集模态甚至重 ...

感谢你的回复，详细而有针对性。尽量将复杂的问题简单化，在这一点上我很赞同你的观点。回到问题上来，确实，在EMA中可以用于帮助确定系统模态的手段有很多，仅可以归类于MIF的就有数种之多，每一种也都有自己的特点和适用性。典型的如经典谱估计中的周期图和相关图法，或者它们的改进版本如Welch法等，也早已经成为非参数谱估计的标准方法，快速并且有效。

EMA的方法可以分成参数化识别法和非参数识别法两种，MACEC在3.2版本中，重新添加了在3.1版本中已经去掉的非参数的pp法，加上3.1版本中已有的参数化的SSI-DATA，SSI-COV，以及pLSCF，一共为OMA提供了四种识别方法，这里你没有把MACEC 3.2用户手册中的内容贴全，我重新贴在下面

这里面所列举的每条内容，分别对应于前面所说的一种方法，其中第一个，用周期图或相关图法来计算非参数PSD+，是对应于PP法的，这是因为PP法只能通过这种途径来计算PSD。其实不止是在这里，MACEC中在配置初始数据，和为SSI-COV及pLSCF设置参数时，都不止一次地用到非参数谱估计，但是对于参数化模态识别过程就是另一回事了。

参数化的EMA的实现我认为可以分为以下的几个步骤
1、预测试，挑选测点
2、测量数据
3、数据预处理
4、系统辨识，从原始数据得到模型的系统矩阵
5、模态参数分析，从模型的系统矩阵得到模态参数
6、模态校验，验证模态参数的正确性，去掉虚假的和错误的模态
7、得到结果
可以看出，各种参数化EMA方法实现时根本的差别在于第4步，使用的模型不同，或者求解的方式不同；第5、6步从1999年B. Peeters提出稳态图以来，就经常放在一起，在MACEC中称这一步为Modal analysis。

在MACEC中，为了节约内存占用，不同的步骤会产生不同的中间文件，其中数据预处理，系统辨识和模态参数分析分别产生一个中间文件，保存原始数据，系统矩阵和模态参数，这里称其为文件1、2和3。从数据的角度来看，数据预处理是从原始测量数据生成文件1的过程，系统辨识是从文件1生成文件2的过程，模态分析是从文件2生成文件3的过程。我测试过，这些过程中对数据的需求是唯一的，即系统辨识时文件3不需要存在，模态分析时文件1不需要存在，数据预处理时文件1、2、3都不需要存在。

这样问题就出现了，模态分析时稳态图中的功率谱是从何而来的？显然，将文件1中的数据也原封不动地保存在文件2中，是不经济的做法，而这实际上就是我一直想弄明白的问题。

感谢大家的回复，希望我们能一起把这个问题弄明白。

westrongmc

yunhui 发表于 2012-10-23 09:46

                               
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感谢你的回复，详细而有针对性。尽量将复杂的问题简单化，在这一点上我很赞同你的观点。回到问题上来，确 ...

”。。。，这样问题就出现了，模态分析时稳态图中的功率谱是从何而来的？显然，将文件1中的数据也原封不动地保存在文件2中，是不经济的做法，而这实际上就是我一直想弄明白的问题。"
在macec用户手册中，已经表述的非常清楚了，功率谱是通过相关图或者周期图法得来的。
当然不用将文件1中的数据保存在文件2中。因为这是不同的步骤。
另外，就是楼主担心的数据量大的问题，目前的OMA主要还是针对桥梁、建筑等结构，对于一次OMA测试，采样频率一般很低。举一个特例：按照25.6Hz采样率计算，采样3600秒，每个样本点4字节，数据量是25.6×3600×4=360K字节。按照64通道计算，有23M字节。计算功率谱的好处就是通过谱平均后，大大地减少了数据量。以2048点FFT为例，谱线1024条，按照double数存储，8k字节，所以不存在数据量大到没法存储的地步。
#end

yunhui

westrongmc 发表于 2012-10-23 22:34

                               
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”。。。，这样问题就出现了，模态分析时稳态图中的功率谱是从何而来的？显然，将文件1中的数据也原封不动 ...

1、MACEC中表述的是非参数的（nonparameter）PSD是由相关图或周期图得到的，这个我没有疑问。

2、MACEC在文件1中保存的原始数据，预处理和系统辨识都直接与文件1（保存预处理后的数据）有关，所以在这两个步骤中的操作（包括查看原始信号的频谱，以及使用原始信号的频谱作为设置参数化识别方法参数设置的参照）中，使用了非参数的PSD估计方法来得到PSD曲线，这个我也没有疑问

3、在非参数识别方法中，如PP法和MACEC中没有的FDD类方法，都使用原始数据的PSD/FRF作为初始数据，所以需要使用非参数PSD，这个我仍然没有疑问。

4、如我前面所表述的，模态分析这一步骤，是使用文件2（保存系统矩阵）产生文件3（保存模态参数）的过程，这一过程没有与原始数据直接发生联系（既没有使用原始数据文件，也没有将原始数据保存在内存中，这一点我确定），那么这一过程中的PSD曲线是怎么来的，这是问题所在，也是我所关注的。

5、这里数据量的问题其实是次要的问题，我们先讨论一下第4点的问题吧。

谢谢你的回复，希望继续讨论。

yunhui

在7楼所给出的6张图中，前5张是与我的问题相关的第6张我已重新发在8楼了。
前5张里面，第1张和第5张是非参数估计方法的图，就应该用像相关图、周期图这样的经典谱估计方法，没问题
第2张是设置参数化识别方法的参数时出现的，这里参数化模型还没有估计出来，也只能用经典估计方法
第3张是参数化识别的稳态图，但是这张图只能说明这里能估计PSD曲线，不能说明是用什么方法做的，结合我第10楼所说的第4点，可以确定这个方法应该不是非参数的估计法。这也是我提出问题的原因。
至于第1张，我只能说显然用非参数法估计出的PSD作为选择极点的参照工具，是适用的，但是这与本帖我提出的问题显然是两个范畴的。

请大家一起讨论。

daviddong

yunhui 发表于 2012-10-24 08:40

                               
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在7楼所给出的6张图中，前5张是与我的问题相关的第6张我已重新发在8楼了。
前5张里面，第1张和第5张是非参 ...

11楼
第3张是参数化识别的稳态图，但是这张图只能说明这里能估计PSD曲线，不能说明是用什么方法做的，结合我第10楼所说的第4点，可以确定这个方法应该不是非参数的估计法。这也是我提出问题的原因。

画稳态图时，psd数据已经存在了，你看macec user's manual p112的stabplot函数说明


不是还要估计psd。因为它已经存在了。另外，macec user‘s manual  Figure2.24是show PSD+/FRFs。

#end

westrongmc

yunhui 发表于 2012-10-24 08:40

                               
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在7楼所给出的6张图中，前5张是与我的问题相关的第6张我已重新发在8楼了。
前5张里面，第1张和第5张是非参 ...

即使是在SSI算法中，显示在稳态图中的背景曲线MIF也有多种，下面给出几个示例：
1. LMS软件，参考文章：Operational PolyMAX for estimating the dynamic properties of a stadium structure during a football game

用的是 sum of measured spectra，此处所谓measured spectra应该就是PSD+.

2. ARTeMIS软件，参考下面文章，显示的是CMIF。

3. 也有人将响应点的autoPSDs直接画上作为MIF。


4. 下面的网站链接，稳态图上显示的MIF是averaged PSD



实际上，到画稳态图这一步时，已经经过参数辨识得到了系统矩阵，得到了极点，根据稳定判据判别了各极点对应的属性：s、v、d、f等。
楼主孜孜不倦地思考PSD从何而来：PSD是经过经典谱估计得到的，不要跟模态识别算法搅到一起。画稳态图时，PSD是已知的了，无非就是经过处理（SUM 或者 SVD后取singular values）或者干脆不做处理直接画到稳态图上，作为用户判别物理极点位置的参考。

yunhui

daviddong 发表于 2012-10-24 20:11

                               
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11楼
第3张是参数化识别的稳态图，但是这张图只能说明这里能估计PSD曲线，不能说明是用什么方法做的，结 ...

关于FRF/PSD+的纠正很对，谢谢。
关于这个函数，包含了太多的内容，所以我认为在使用它之前应该是所有的工作都完成了的，这个函数只是用于把这些内容显示在一张图上，就像MATLAB中绘制曲线的函数plot一样，不能根据它说谱曲线就是怎样得到的。

yunhui

westrongmc 发表于 2012-10-25 00:50

                               
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即使是在SSI算法中，显示在稳态图中的背景曲线MIF也有多种，下面给出几个示例：
1. LMS软件，参考文章： ...

讨论到现在，我大致有了以下的认识：
1、在模态分析中，经常使用MIF作为辨别极点真假的参照工具
2、绝大多数情况下，我们都选用非参数的谱估计方法来计算各种各样的MIF
3、用经典谱估计的方法计算出来的MIF是有效的

其实我一直都认为从工程应用的角度来说，我所提出的问题的价值不大。因为现代谱估计与经典谱估计相比最大的优势在于不受频率分辨率的限制，但是显然在稳态图这样的背景下这个优点是无足轻重的，更何况现代谱估计还有效率低，原理复杂这样的缺点，我想也许这就是经典估计法成为主流的原因吧。

之所以还要提出这样的问题，主要的出发点有两个
1、我一直认为MACEC的保存系统矩阵的文件中没有包含系统矩阵以外的数据，这个想法正确与否也许还需要在以后的实践中继续检验
2、模态分析方法总是要由程序实现的，我认为仅仅利用系统矩阵作为建立稳态图的初始数据，可以使模态分析部分程序的接口设计、数据结构和程序结构得到一定的简化，并且使程序的可移植性、可扩展性都得到增强。

感谢大家一直都很详细地回答我的问题，希望还能有机会进行讨论。