[转帖]迭代过程中不平衡力的计算

MVH

　　我正在做一个杆系几何非线性的程序，遇到的最大的问题就是跌代过程中不平衡力的计算。几何非线性用拖动坐标法，用几何刚度矩阵考虑了梁柱效应。 我看到以前的帖子上讨论过相似的问题，但细节上的处理还是没解决。严格来讲，是t时刻跌代后，结构坐标已更新，此时怎样计算杆端力。 原来我的理解是用单元的切线刚度矩阵，即用包含了几何刚度矩阵的t时刻[ke]与t时刻单元的累计位移来计算，但是跌代不收敛。后来考虑单元的轴力取值问题(几何刚度矩阵计算用)，用t0时刻单元的弹性刚度矩阵与t0时刻单元的累计位移计算轴力，计算t时刻的切线刚阵，得出不平衡力，但此时收敛值不准确。 考虑了几何刚度矩阵后，计算不平衡力到底怎么算呢?望各位大侠伸出援助之手。谢谢! ==========

我也在做这方面的程序。 我得处理方式是：利用局部坐标下的单刚即【ke】与局部坐标下的节点位移来求节点力，在求节点力时没有考虑几何刚度矩阵;而在切线刚度中考虑了几何刚度阵，这样得到的结果与ansys的比较符合得还可以。这样处理，由于计算节点力没考虑几何刚度阵，则在局部坐标下，节点力可以叠加。 我也不知道这样处理是否可以?因为我比较了一下，如果按我得方法来做，几何刚度阵考虑与否不影响最后结果，只是收敛次数有区别，考虑几何阵会减少迭代次数。多多指教! ==========

以增量平衡方程为基础，为获得结构荷载-挠度响应，要执行增量-迭代分析，包括三个主要阶段 (1)预测(predictor)阶段。根据切点刚度矩阵，从增量平衡方程求解位移增量; (2)校正(corrector)阶段。根据预测阶段得到的位移增量恢复单元内力(recovery of the element forces); (3)检查结构平衡，保证在新的变形状态迭代收敛。即只要计算不平衡力(Unbalance Forces)不可忽略，则重复进行包括(1)、(2)步骤的结构平衡迭代。 执行非线性问题的增量-迭代分析时，每一个计算循环都必须计算不平衡力向量 。不平衡力是由问题线性化引起的。必须计算不平衡力并以迭代的形式施加于结构来纠正漂移误差(correct for the drift-off error)，并且将力点(the force point)带回真实的平衡路径(the true equilibrium path)。如果忽略不平衡力，正如简单增量法中那样，将产生漂移误差。如果非线性程度很大，漂移误差将很大。 从求解精确性的观点来看，在增量-迭代非线性分析中，“校正”的重要性本质上比“预测”大(Imaging what can happen when a “corrector” is not correct!)。换句话说，应使“校正”和力的恢复程序尽量精确，而“预测”，即单元刚度矩阵，在一定程度上只要求近似。这个重要事实被大多数研究者忽略(Chen WF, 1987; Leu LJ, 1990; Yang YB, 1991)。 不平衡力向量 为外荷载与杆端内力之差，而外荷载是已知的，故关键在于杆端内力的计算。常规方法采用增量法计算杆端内力，不可避免地带来误差。杆端内力计算应该基于整体平衡条件计算，而不是基于增量平衡条件计算。 最好的办法是在随转坐标系中，在单元级别上使用稳定函数考虑轴向-弯曲相互作用，求得杆端内力。平衡方程根据从总体位移中抽去刚体位移的相对位移写出。具体方法请参阅 Chen WF, Lui EM. Structural stability-theory and implementation[M], New York: Elsevier, 1987. Chen WF, Toma S. Advanced analysis of steel frames: theory, software, and pplications[M]. Boca Raton (FL): CRC Press, 1994. 另外，强烈建议多看看外文书籍。国内一些人士治学态度和水平都有问题。 ==========

非常感谢楼上两位朋友的热情相助!现在我的程序已经调试出来，对于几何非线性的编程计算，因为大位移的原因，不能直接取整体坐标下的位移值，这是我最大的收获，应该像第三楼的lp2000lp朋友帖子所说，在单元的级别，用扣除单元刚体转动的局部位移，对于如何扣除的问题，有人曾发文专门讨论，请见附件文档，这个问题解决后，跌代计算里的很多问题都迎刃而解了。对于第二楼的朋友所提的现象，我在用桁杆单元算例计算时，的确如此，几何刚度矩阵只起到加速收敛的作用。但在梁单元计算中(我用的一个悬臂梁算例)不计几何刚度矩阵的话，一次加载根本不能计算。在我计算一座大跨径斜拉桥的几何非线性影响时，几何刚度矩阵的作用还是比较明显的，就不仅是使收敛加快的问题了。 以上问题仅仅是在表象层面上作一叙述，希望有理论深度的朋友作一严谨解释。 另外，第三楼朋友所述及资料，不知道哪里能找到，有没有网络资源?谢谢!

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整体坐标下的位移转换到局部坐标后，只剩下单元的轴向伸缩和两个转角，即局部坐标下单元位移只有三个量。 几何刚度阵的概念是横向位移引起纵向收缩，所以会有附加的刚度阵(即几何刚度阵)。但是对于一般结构，在局部坐标下(只有三个位移量)均为小变形，那么用UL列式求局部坐标下的节点力时，一般不把几何刚度阵记入，这就是我上次所说的，而在切线刚度阵中记入几何刚度矩阵。 我求节点不平衡力的方法是这样的，先求的整体坐标下的位移，转换到局部坐标下，用局部坐标下的弹性刚度矩阵与局部坐标下的节点位移(三个位移量)求得节点力，然后转换到整体坐标下，在进行节点力组集。我算出的结果与Ansys比较，吻合较好。 不知道Welch如何求不平衡节点力的，在局部坐标下求节点力时是否考虑了几何刚度阵，具体是如何做的，请多多指教! ==========

我在刚开始作程序时，调试算例用的是比较常见的二根桁杆中间加载的一个经典算例(应该在很多资料上见得到)，这时用不用几何刚度矩阵的区别与你上次讲的差不多。在后期，开始调试梁单元时，调试算例的位移较大，就开始注意了几何刚度矩阵，后来为了程序中的统一，计算时都加上了几何刚度矩阵。根据上述的桁杆算例，只用弹性矩阵计算时，关心点位移解为4.182，考虑了几何刚度矩阵，位移解为4.22，有一些差别，Ansys算出的与前者接近。多多交流!

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我主要想知道你具体步骤是怎样的，在算节点不平衡力时如何记入几何刚度阵。就是简单的拿上步的轴力引起的几何刚度阵求当前的节点不平衡力吗，怎么我算出来，位移还可以，但是支座反力不对了(这只是对复杂结构而言)。但是计算简单的由梁柱组成的结构，结构还可以。 ==========

MVH

　　关于几何非线性，强调几点： (1)框架结构几何非线性分析的控制因素是有限转动。对于离散为许多单元的框架结构，虽然结构经历大位移、大转动，但能引起单元变形的位移通常是很小的，意味着单个单元的运动绝大部分为刚体运动。刚体运动效应对有限单元的精度和收敛性极其重要。 理论上，刚体运动不引起力的增量，刚体运动对结构势能没有贡献。但由于有限单元法中位移插值的近似处理，情况并非如此。也就是说，如果位移插值对于所考虑的问题不完全精确的话，即使对于某增量步内不产生应变的节点位移，由于刚体转动，应变-节点位移方程也产生人为的应变。为避免由于有限转动引起很大的内力平衡误差，应该从力的恢复程序(force recovery process)中去掉刚体位移，这样仅在自然位移上应用了有限单元法的位移近似。在适应刚体运动方面几何刚度矩阵起十分重要的作用，它是使单元初始内力随刚体运动一起运动。 (2) 在求解非线性问题时，如果能精确地从单元整体位移中扣除单元的刚体平动和刚体转动，那么就可以得到能引起单元变形的那部分运动。为了能精确的扣除单元的刚体平动和刚体转动，在每个单元上都附上一个坐标系(body-attached coordinate system)，这个坐标系的原点始终位于单元起点， 轴始终沿单元节点的连线方向，即坐标系随着单元平动和转动，用这个坐标系把单元的刚体平动、刚体转动与引起单元变形的那部分运动区别开，称这个坐标系统为随转坐标系(Co-rotating coordinate system)。随转坐标系反应的是单元真实变形情况，与单元静力的刚体位移无关。只要适当选择单元尺寸，整体坐标系下的大位移、大转动问题就在随转坐标系下转化为小位移、小转动问题，这一点也可以从非线性连续介质力学给出证明。这样，与Co-rotational列式结合，单元变形节点力和节点内力的高次项可以忽略，即随转坐标系下的受力情况就可近似地按线性处理。CR列式与小挠度梁理论结合是求解一般大位移问题的有效方法。 (3)几何非线性分析中刚度矩阵的形式和阶数只对问题的收敛速度和收敛性具有较大影响，而内力计算的精度对最终解的精度具有决定性影响，这个重要事实被大多数研究者忽略。杆端内力计算应该基于整体平衡条件，而不是基于增量平衡条件计算。具体方法请参阅 Chen WF, Lui EM. Structural stability-theory and implementation[M], New York: Elsevier, 1987. Chen WF, Toma S. Advanced analysis of steel frames: theory, software, and pplications[M]. Boca Raton (FL): CRC Press, 1994. 上海外文书店(上海书城对面)可能有售，听说也有翻译本，但还是建议看原版。
(4)ANSYS的几何非线性方面作的很不好，请不要与它对比。程序校核最好采用有解析解的经典考题。

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列出一些几何非线性封面的经典文献(以杆系结构为主)： Argyris JH, Balmer H, Doltsinis JS. Finit element method-the nature approach[J]. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 1979, 17/18: 1-106. Argyris JH. An excursion into large rotations[J]. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg, 1982, 32: 85-155. Bates DN. The mechanics of thin walled structures with special reference to finite rotation[D]. London: University of London, 1987. Bathe KJ, Bolourchi S. Large displacement analysis of three-dimensional beam structures [J]. Int. J. Numer. Methods Eng., 1979, 14: 961-986. Bathe KJ. Finite Element Procedures[M]. New York: Prentice Hall, 1996. Chan SL, Zhou ZH. Pointwise equilibrium polynomial element for nonlinear analysis of frames[J]. Journal of Structural Engineering, 1994, 120: 1703-1717. Chen WF, Lui EM. Structural stability-theory and implementation[M], New York: Elsevier, 1987. ?? Chen WF, Toma S. Advanced analysis of steel frames: theory, software, and pplications[M]. Boca Raton (FL): CRC Press, 1994. Crifield MA. 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回复 xhb： 几天没有上这个讨论区，没能及时回复，见谅。 (1)“与Co-rotational列式结合，单元变形节点力和节点内力的高次项可以忽略，即随转坐标系下的受力情况就可近似地按线性处理。” 这对常规工程结构，特别是土木结构，在一定精度下是可以这样处理的，大多数教科书也是这样论述的。在这种情况下，一切非线性项都是通过坐标的迁移来考虑。杆端内力的计算是基于增量，用坐标迁移后的刚度矩阵乘以随转坐标下的位移得到。至于要不要考虑几何刚度阵，我认为讨论这个问题没有意义，因为对一般结构，两者结果非常相近，如果两者结果相差很大，那么基于增量计算杆端内力也就不能满足精度了，需要采用下面更精确的方法。 (2)严格地说，用任何切线刚度矩阵计算杆端内力都是不正确的，要不然哪里来的不平衡力?这也是常规方法的荷载步不能太大的原因之一。切线刚度阵只起到“预测”位移的作用，根据“预测”的位移求杆端内力，继而得到不平衡力，才是几何非线性分析的根本所在。很多文献说它推导了更精确的、考虑到n阶的刚度矩阵，对杆端内力的求发却避而不谈，这种文章就可以不要往下看了。实际上，杆端内力计算应该基于整体平衡条件计算，而不是基于增量平衡条件计算。在随转坐标系中，基于总体位移(抽去刚体位移)在单元级别上使用稳定函数求杆端内力是较好的方法。它没有额外引入任何近似，在二阶理论上是完全精确的，且不受荷载步大小的限制(当然，转角< 90°)。对一个悬臂梁，端部受集中力矩，采用该法只需四各荷载步即可将它转为一个圈。 我作过几个标准考题，效果非常好，性能远远优于ANSYS。 (3)对实际土木工程，(1)、(2)两种方法的差别有多大呢?我只能对桥梁方面谈我的个人初步体会。对于跨径达到1000 m的斜拉桥，如果将荷载步细分，拉索的处理得当，其差别不大。但方法(2)几乎不受荷载步大小的影响。如果拉索仅仅用Ernst折减的方式考虑，那就差别大了，这就是用切线刚度矩阵求杆端力的恶果。 ==========

题外话： 几何非线性分析的两大门派 应用于有限单元分析的最广泛应用的非线性力学理论是由Bathe等1979年提出的Lagrangian列式。(Bathe, Bolourchi, 1979)由三维连续体的虚功方程，提出了适用大转动的TL和UL列式方法，对杆系结构非线性研究有较大贡献。这些列式具有普遍的、一致的背景，能够模拟几何非线性、物理非线性的连续介质力学问题。在随后的工作中，Bathe和Bolourchi扩展了这些列式，包括梁、板、壳等单元。梁单元列式具有坚固的力学基础，可以一致地用于大量的其它单元。但这种方法需要计算和存储梁单元每个积分点的Cauchy应力和进行数值积分，因而不能得到刚度矩阵的显式表达，妨碍了对Lagrangian列式的简单物理解释。积分降低了单元效率，使得与其它梁单元列式相互比较变得困难。 (Argyris JH, Balmer H, Doltsinis JS, 1979)另外一个广泛应用的列式由Argyris等1979年提出的自然模态技术(natural mode technique)。在这种自然方法中，将刚体运动与产生应变的运动分开。这种列式的缺点是缺乏更严格的连续力学基础。例如，作为整个过程起点的虚功表达式，显得没有一致的参考构形 — Cauchy应力与Lagrangian(Green)应变相互混合。但它可以作简单的结构上的解释，在单元级别上将刚体运动与产生应变的运动分开是一巨大创新。计算简单，易于理解，且完全可以满足工程精度。这种方法发展为工程广泛使用的CR列式法。 ==========

从连续介质力学的观点来看，TL列式、UL列式和CR列式是完全等效的，列式方法本身并不存在误差，只是选择的参照位形(reference configuration)不同而已。然而，但由于在有关公式的表达或在采用有限元分析的过程中，或多或少地需要引入某些近似处理，而这些近似处理在采用不同列式描述下的误差反应不同，这就造成了不同列式方法的性能，甚至适用上的差异。 采用有限元分析的过程中，引入近似处理包括： ·单元位移模式的近似; ·曲率的近似; ·应变-位移关系的近似; ·积分域的近似。 由于坐标的迁移和转换自动包含了弯曲应变和膜应变的非线性项，可以不必区分Cauchy应力和Kirchhoff应力。只要适当选择单元尺寸，整体坐标系下的大位移、大转动问题就在随转坐标系下转化为小位移、小转动问题，这一点也可以从非线性连续介质力学给出证明。 ==========

请问lp2000lp： 在用UL(带动坐标)编程时，空间梁单元的几何非线性分析与平面梁单元的几何非线性分析之间的区别?它们的计算过程一样吗，也就是先计算整体坐标下的位移，然后旋转到局部坐标下(去掉刚体位移，转动)，求局部坐标下的单元节点力，然后再转到整体坐标求整体坐标下的不平横节点力，继续迭代到收敛? 如果两者计算步骤相同的话，对于空间梁单元，已知整体坐标下的节点位移，如何求局部坐标下引起单元变形的位移呢，如何旋转? ==========

plp200lp, xhb, Welch, 大家好。 本人现在工作也是研究集合非线性有限元编程，有些不懂得地方想向大家请教。 个人对抽象的概念理解不同，我想如果举一个即简单又能说明问题的例子，可能会更有针对性。假设有一梁两柱组成单层单跨框架，平面体系，柱底与地面固结。从杠系有限元的角度，总刚为12*12矩阵，采用主元乘大数方法考虑边界条件。如果已经知道了由t0时刻的切线刚度求得整体坐标u0(12*1)，问如何求得杠端力和非平衡力? 欢迎讨论! 另外，向welch推荐Y.B.Young(杨永斌，台大土木系主任)1994年的书参考有关空间梁单元自然位移的求法。 ==========

welch大侠，能把你调试的程序发给我一份吗!zhujia2159@hotmail.com 小弟也正在调试一个杆系结构的几何非线性程序。 碰到一些计算方法上的问题想请教坛子里的各位高手： 1.在迭代过程中，合成总体刚阵的时候，应采用累积位移，还是t->t+delta t 时刻的不平衡位移(是不是TL列式应该采用累积位移，而UL列式应该采用不平衡位移。 2.在计算不平衡力的时候，采用 a (外力)-(该时刻的内力) b (t时刻的不平衡力-t+delta t时刻不平衡里) 3.在迭代过程中坐标转换矩阵是否需要变换。

linqus

　　

谢谢楼主，学习中，:)，


　　

不知楼主有没有做过这类程序。

MVH

这个我没做过，不过那天无意发现挺不错的，就转过来大家分享一下

yejet

　　

偶现在打算抽时间出来尝试算算