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本帖最后由 大地知心 于 2013-1-22 16:40 编辑
额，论坛的排版功能实在太差，我排了，一点发表又是一饼粘。索性把原Word文档以附件的形式发出来，欢迎大家下载。
随机过程理论思路.doc
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随机过程，是相对于确定信号而言的，确定信号对应于一个时刻，便会有一个确定的值与之对应，但是随机过程对应于一个时刻，其值具有不确定性。不确定性的东西我们怎么研究，当然是用概率论与数理统计的模型来研究，实则上就是把每一个时刻的值看成是一个随机变量。当然为了方便我们研究，我们还是需要把不确定转化为确定的，怎么转化？抓住随机变量的期望与方差是不变的，我们求均值不就完了。问题是求谁的均值呢？我们求的是随机变量X（t1）与X(t2)相乘的均值， 这个均值我们定义为随机过程的自相关函数。自相关函数在随机过程中相当重要，有了它，不确定性变为了确定性，有了它，我们可以求出随机信号的功率谱，有了它，我们可以由输入的功率谱得到输出的功率谱，而且这门课的各种计算都是以自相关函数为基本算子的，所以我们不妨就把自相关函数当成基本算子，当然有自相关函数就有互相关函数，理解了自相关，互相关的相关计算也好理解了。而不管是自相关函数还是功率谱都是确定的，所以就便于我们研究随机过程的相关内容了，比如谱估计，谱估计可是信号处理中的一个大问题。
再说说我们这门课研究的是哪种随机过程。实际上，在现实系统中广泛存在的平稳过程，实际上就可以理解为非时变的系统，非时变可以理解为就是平稳的系统，对于随机过程来说就是指统计规律不变性。平稳过程的重要特点在相关函数上体现为相关函数只与两个时刻的时间间隔有关，所以我们常常看到的是R（τ），τ是两个时刻的差傎。另外，平稳随机过程的均值都是常数，这个均值怎么求？当随机过程为各态历经时，我们便可以通过在一个时间内的时间平均求得其均值。很多实际的工程模型我们都是假设过程是各态历经的。
当然，随机过程也主要是通过线性系统的，所以我们肯定要研究下随机过程的线性变换是怎样的，线性变换无外乎就是微方，积分，我们在均方极限的意义下定义了随机过程的微方和积分。这样随机过程的线性变换通过“均”，也变得具有可操作性了。
有了这些基本模型后，我们便开始研究具体的问题。第一个问题是窄带随机过程。为什么是它？因为我们在实际工程大量遇到窄带信号，比如在无线电中，都是把信号进行调制再发送出去的，载频都是远远大于信号带度的，这样的信号便称为窄带信号。当然，白噪声通过带宽滤波器形成的信号也可称为窄带信号。为了研究窄带信号，我们必须要给它建立数学模型。通过一系列的假设，讨论，窄带信号的模型被建立为同相分量与正交分量模型，窄带的随机性和其携带的信息也在两个正交分量中体现出来。特别的，当这个窄带信号高斯噪声时，两个分量有很多特别的性质，这也暗示了我们在后来要重点研究的另一类随机过程，即高斯随机过程。
引出了同相分量与正交分量的概念后，我们自然想到可以不可以把任意一个信号都用正交分量与同相分量表示出来呢？答案是肯定的，这其实就是信号的复形化过程，信号复形化后，实部和虚部就相差90度相位，二者关系就是正交的。复形化后信号的频谱就只有正的频率分量且为实信号频谱在正频谱中的两倍，这样给我们的信号处理带来极大的便利性，比如信号的采样频率可以降低一半。这是信号复形化后的重要意义。
有了以上准备工作之后，我们便可以用信号的同相分量与正交分量来研究信号了，我们是怎么研究的呢？主要是通过同相分量与正交分量各自的自相关函数和互相关函数以及它们的功率谱去研究的。值得注意的是若功率谱是关于载频对称的，则同相分量与正交分量的互相关函数值为零，即两个分量是互不影响的。
有了这些后，我们就研究更具体的高斯随机过程。为什么要研究它？因为它具有太多特殊的性质了而且在实际系统中大量存在。我们研究的方法与目的就是使用两个分量（同相分量与正交去量）去求各个维度（主要是一维与二维）的高斯随机过程的包络和相位的概率密度函数（即分布）。研究出的一个重要结果是：窄带高斯过程的包络是服从瑞利分布的，而其相位在【0，2π】内服从均匀分布。
第二种重要的随机过程是泊松随机过程。泊松随机过程就是一种计数过程，泊松随机过程是一类直观意义很强，而且极为重要的过程。其应用范围很广，遍及各个领域。例如某电路交换台的电话呼换，所有的呼换先后依序构成一个泊松随机过程，数字通信中已编码信号的误码个数，都是泊松随机过程。
第三种重要的随机过程是马尔可夫过程。它是一种典型的有记忆的随机过程，但记忆有限，即将来只与现在有关，而与过去无关。马尔可夫过程可能取的值称为状态，其取值的全体构成马尔可夫过程的状态空间。状态空间S可以是连续的，也可以是离散的。马尔可夫过程的时间参数t可以是连续的，也可是离散的。通常将状态和时间都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链，而时间参数连续的则称为马乐可夫过程。另外补充一下，一般来说时间上离散得到的值集称为序列。
学了这门课后应该长期记住的一些结论：
1.窄带平稳实高斯随机过程其包络服从瑞利分布，相位服从0到2pi内的均匀分布。
2.两个独立随机变量之和的概率密度函数等于这个随机变量的卷积，所以两个正态分布的卷积仍然是正态分布。
3. 窄带平稳实高斯随机过程其包络服从瑞利分布，相位服位0到2pi内的均匀分布。
4. 平稳随机过程在时间上是无头无尾的，所以它只有功率谱密度，没有能量谱密度。
5. 试简述高斯过程具有的三条优良性质：
⑴高斯随机过程作用于一线性系统，其输出仍为高斯随过过程
⑵广义平稳与严格平稳等价
⑶高斯随机过程不相和相互独立等价。 | 
发表于 2013-1-22 16:34
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