论应变局部化、有限元分析与正能量！【转】

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固体力学中的应变局部化现象，简单的讲就是破坏集中于局部狭小的区域里面（不同于应力集中，其并不代表损伤或破坏），应力与应变的导数（一致切线模量）为负值。当塑性或者损伤产生时，热来不及扩散，不可逆转的能量耗散仅仅出现在局部区域内，如金属拉伸颈缩现象和冲击载荷作用下的剪切带 、高速切削，导致了金属强化与热软化之间的竞争，是客观存在的物理现象。由于有限元分析理论基础是连续介质力学，平衡方程(由牛顿第二运动定律和哈密顿原理推导出)中缺乏描述材料内部特征的尺度比例参数，因此当应变局部化产生时，声张量变成奇异，能量耗散和破坏集中于一个狭小的区域，有限元边值（或初值）求解问题成为数学上的病态问题，应力增量随应变增量下降，由于局部化带一般很窄，其体积近似为零，应变软化区域内的能量耗散将被错误地估计为零，违反了耗散能量为正的事实，这是我们不期望看到的，其结果将收敛到不正确的、没有物理意义的解，此时有限元分析不可能准确捕捉局部化带，因此存在网格敏感性问题。

  为解决局部化区域正能量耗散的问题，主要是围绕两个方面的应变局部化问题开展，一是应变或者加速度不连续，如acceleration wave，二是位移或者速度不连续，如shock wave。对于第一种不连续性问题，即弱不连续性，主要是引入一个尺度比例，如非局部应变梯度塑性理论（基本思想是在平衡方程或者有限元刚度方程中引入应力与位置的高阶物理量）、非局部积分理论（美国普林斯顿大学Eringen AC教授、西北大学Bazánt ZP院士提出，假设某点的运动和变形是由该点附近一个区域内的所有点决定，其在热动力第二定律和本构模型中引入非局部残余等新特征，能够较好地处理应变局部化问题，实质上是在非局部kernel函数中引入了一个尺度比例）、以及美国Sandia国家实验室Silling提出的Peridynamics近点动力学理论。已经证明：非局部梯度理论仅仅是非局部积分理论的一种弱形式。应该指出的是，引入尺度比例参数后，局部化带的宽度与尺度参数成一定的比例关系，然而目前尺度参数仍需通过实验确定。值得提出的是，粘塑性材料由于存在时间迟滞比例参数，一般不存在应变局部化的问题。 不幸运地是，即使是大尺度参数引入到平衡方程中，仍然需要足够fine的网格才能获得正能量的耗散。由于局部化带的宽度一般很窄，如剪切带通常只有几个um，不凡假设局部化带的宽度为零，第一种不连续性问题演化为第二种不连续问题，即强不连续性，有限元分析通常采用单元富集或者节点富集的方法，即扩展有限元，位移跳单独求解出来，不依赖于母网格尺寸，因此淘汰了网格敏感性问题，彻底变成了正能量耗散，耗散产生在zero测量的“勒贝格 Lebesgue”空间；从另外一个角度看，由于局部化带的宽度为零，不存在塑性扭曲和能量耗散。因此应变局部化强不连续性问题，尽管是弱不连续性问题的一种极限情况，同时也涉及到局部化带内的 cohesive本构(本质上是连续本构在不连续界面的一种“投射”)、局部化带初始形成的的detection（理想弹塑性一致切线刚度声张量的奇异作为强不连续性产生的条件，代表强椭圆性的丧失和波速的消失）、局部化带追踪算法以及有限元格式（如扩展有限元法，其在常规有限元位移插值函数中附加Heaviside阶跃函数,从而应变函数就包含了狄拉克算子，然而根据斯坦福大学Simo教授（1993年）等开创新研究结果：不连续界面的牵引力要连续，因此局部化带的软化模量本身是一个奇异分布函数）等复杂问题，是代表描述正能量耗散的方向，是当今国际上有限元分析领域中一项非常具有挑战性的研究工作。对应变局部化问题强不连续性研究方法的研究最终落入了扩展有限元+内聚力的研究框架，其中最有挑战性的问题是内聚力固有的SNAP-BACK收敛性问题。西北大学TED院士运用了控制裂纹扩展长度的方法解决SNAP-BACK问题，类似于弧长算法（尽管理论可行，但是计算效率不高），实质也是控制加载增量。目前比较有效的方法还有粘性阻尼方法（ABAQUS里面是STABILIZE非线性粘性稳定性方法，但是比例因子需要慎重选取，太大太小都不可取。个人倾向于粘性阻尼方法），另外ABAQUS-UEL后处理单元的显示也是一个问题，一般用其他单元代替显示。

  总之，有限元分析的精髓始终是数值强健性，包括收敛性、网格敏感性和稳定性。为了实现正能量耗散，有限元分析仍需努力，既然本质上有限元分析是依赖于网格尺寸的，仅应力集中现象就解决不了，而应变局部化现象是有限元分析产生正能量的拦路虎，隐式有限元的内聚力收敛性问题是更大的挑战。应变局部化问题本质上属于多尺度的问题。我们必须用发展的眼光、创新的思维，针对强、弱不连续性问题，铲除狼路虎，在含损伤或者塑性扭曲存在的情况下实现准确地预测正能量耗散，消除网格敏感性问题，准确预测局部化带的萌生和演化，这是有限元分析一直致力的重要目标之一，有限元分析自身遇到的问题必须通过革新自己来解决。
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