[讨论]非线性的振型叠加法

frogfish

最近在作结构的非线性动力分析时，看到有一本书上介绍了使用振型叠加法对动力非线性方程组进行求解，我对此不太能够理解，振型叠加法是一个线性叠加过程，只适用于线性模型，不知大家对此如何理解，哪位高手指点？

FSI

具体的过程是如何的呢？

在非线性方程组求解过程中，可能每一步都要重新计算振型吧？

多情清秋

由于结构处在非线性阶段时，其刚度矩阵随时间不断变化，这就需要我们不断地计算刚度矩阵和求特征向量，尤其是求特征向量将会耗去大量的机时，所以对于非线性问题的时程计算，我们一般不采用振型叠加法。

另外就个人想法而言，非线性问题是否能用振型叠加法进行求解还有待商榷，但有些非线性问题经过线性化后是可以的。

也有人认为"非线性定义中的叠加原理”说的是系统内部的物理变量之间的关系。而在求解非线性系统时的叠加原理与前面的不同，所以可以采用振型叠加法来求解非线性系统响应。对这种观点个人持保留态度，至少就我目前看到的资料而言，对于非线性振型叠加法的提法很多，用的也很广泛，但是还没有看到有关这方面的理论证明。

FSI

KJB 在《finite element procedure》中对非线性动力方程的模态叠加法求解 有一个总结

AaronSpark

非线性振型叠加法在研究地震问题是确实应用非常广泛

多情清秋

光从应用来说确实很广泛

其实不仅仅是地震方面，振动的相关领域都这么用

对于高位系统绝大部分都是基于这种思想

但是从科学的严谨角度讲

就算现在所有的分析结果和都是对的

这种方法还是不能说是正确的

cora

1．线性问题的振型叠加法
振型叠加法是利用多自由度系统的固有频率和振型的特性，将结构动力响应分解为各个振型分量，对各个振型分量分别求解后叠加得到实际的响应。它假定阻尼满足Rayleigh阻尼模型，利用正交变换将线性动力分析中多自由度体系相互耦合的N个方程

转换成为N个不耦合的单自由度方程


这些单自由度运动方程可以通过杜哈美积分的数值算法解出。所以，总反应为

其中，[Φ]为 N×N的振型向量矩阵。
如果对结构反应起主要作用的是较低的P阶振型，那我们就可以只计算较低的P阶单自由度方程，根据计算机数值计算的特点并考虑截去的高阶振型的影响后，最后实用的计算式为[2]

或
其中［Kp」--对应于P个特征向量的结构刚度矩阵：

{Fp(t)}--对应于P个特征向量的荷载向量
2．非线性问题的振型叠加法
非线性振型叠加法是我们着重要讨论的问题。在线性问题的振型叠加法中，因为刚度矩阵不随时间变化，所以只需要时程计算的开始进行一次求特征向量的计算，以后就利用求出的这组特征向量通过选代算法求解结构各个时刻的反应。而在非线性问题中，结构的刚度矩阵是随时间不断变化的，这就需要在整个时程分析过程中不断地计算刚度矩阵并求解特征向量。求矩阵的特征向量是非常耗费机时的计算，因而这样运用振型叠加法将会耗费大量的机时，极不经济。但是如果我们能够避开多次求解特征向量，而只在计算的开始求一次，然后利用某种计算技巧，求出各时刻的反应，这样，振型叠加法对求解非线性问题特别是对大跨桥梁地震反应这种刚度矩阵在整个时间过程中只是部分元素发生变化而大部分元素不变的局部非线性问题还是有应用价值的。下面本文以材料非线性问题为例来说明这种分析方法的过程［1］
受地震加速度作用的非线性体系的运动方程为


为便于迭代求解，将上式进行转化，得到

其中，[k]为0时刻结构对应的刚度矩阵。{R(u(t))}是当考虑材料非线性时与材料为弹性所产生的恢复力的差。
与线性问题的振型叠加法类似，将相互耦合的N×N动力方程化为在正规坐标系下的N个单自由度方程：

TNC

[1] Melod Michel hanna, "An Efficient Mode Superposition method for the Numerical Dynamic Analysis of Bilinear Systems",Dissertation of Ph. D, University of California, Irvine, 1989
[2] Wildson, E, L., and Leger, P., "Modal Summation methods for Structural Dynamic computations," Earthquake Engineering and Structral Dynamics, Vol. 16, 23 ~ 27, 1988

linqus

个人觉得这种方法的可行性不是很高。
叠加法是以有限的线性空间组合得到近似解，
对于非线性问题，每次迭代均需得到线性空间，若非线性略强一些求解可能难以操作了。


个人观点。

多情清秋

从现在的应用情况来说可行性是没有问题的
现在最关键的就是缺乏理论上的证明和如何降低计算量的问题

linqus

最近又听到这种说法，非线性模态叠加法，
不知哪里有相关的说明。