[FFT] FFT结果的物理意义

leejack

　　FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。
　　虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。
　　现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此罗嗦了。
　　采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。
　　假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢?假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点(除了第一个点直流分量之外)的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。
　　第一个点表示直流分量(即0Hz)，而最后一个点N的再下一个点(实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后)则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。
　　假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出n点(n≠1，且n<=N/2)对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。
　　由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。
　　好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的信号来做说明。
　　假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：
　　S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)
　　式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢?我们来看看FFT的结果的模值如图所示。




　　图1 FFT结果
　　从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：
　　1点： 512+0i
　　2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
　　3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
　　50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
　　51点：332.55 - 192i
　　52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
　　75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
　　76点：3.4315E-12 + 192i
　　77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
　　很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，结果如下：
　　1点： 512
　　51点：384
　　76点：192
　　按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2;50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3;75Hz信号的幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。
　　然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达式了，它就是我们开始提供的信号。
　　总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某一点n(n从1开始)表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N;该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度(对于直流信号是除以N);该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。具体的频率细分法可参考相关文献。
　　[附录：本测试数据使用的matlab程序]
　　close all; %先关闭所有图片
　　Adc=2; %直流分量幅度
　　A1=3; %频率F1信号的幅度
　　A2=1.5; %频率F2信号的幅度
　　F1=50; %信号1频率(Hz)
　　F2=75; %信号2频率(Hz)
　　Fs=256; %采样频率(Hz)
　　P1=-30; %信号1相位(度)
　　P2=90; %信号相位(度)
　　N=256; %采样点数
　　t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻
　　%信号
　　S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
　　%显示原始信号
　　plot(S);
　　title('原始信号');
　　figure;
　　Y = fft(S,N); %做FFT变换
　　Ayy = (abs(Y)); %取模
　　plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
　　title('FFT 模值');
　　figure;
　　Ayy=Ayy/(N/2); %换算成实际的幅度
　　Ayy(1)=Ayy(1)/2;
　　F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
　　plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2)); %显示换算后的FFT模值结果
　　title('幅度-频率曲线图');
　　figure;
　　Pyy=[1:N/2];
　　for i="1:N/2"
　　Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
　　Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
　　end;
　　plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2)); %显示相位图
　　title('相位-频率曲线图');




转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_640029b301010xkv.html

hcharlie

这么多人反复介绍FFT，都是一个调，采集N点（实数）数据，FFT变成N点复数，有一半是冗余不独立的，等等。。。
其实还可以做N点复数的FFT，变换以后变成N点复数，没有冗余的数据了，又有什么用处呢？又有什么物理意义呢？谁来介绍介绍。

hcharlie

先开一个头。FFT反正只是数学工具，试试看。
采集一组N点数据，都变成复数数组的虚部，而实部都是另，做FFT，也得到N点复数。与实部FFT结果比较，非常接近，只不过第一个数实部=0，虚部（除N）等于平均值，以后各阶频谱，还是那些个数值，只不过位置或符号不太一样。也是一半数据是冗余的。哈哈，有趣。

hcharlie

下面我们将N点A采样注入复数数组的实部，将B采样注入虚部，做FFT，得到什么呢？
应该得到互谱。
我们知道自功率谱密度数学定义为自相关函数的傅立叶变换，互功率谱密度定义为互相关函数的傅立叶变换。
但在工程上可以直接用随机时域信号直接做FFT得到功率谱密度估计，而不走自相关的傅立叶变换的路，互谱当然也是如此哟。
互功率谱表示出两个随机信号在频域的密切相关程度，两个任意随机信号求互功率谱的实际意义不大，一般只在利用随机输入输出信号之间的互谱才有实际意义，也就是求系统的传递函数（频响函数）时常用。传递函数可以等于输出谱/输入谱，也可以等于互谱/输入谱，或输出谱/互谱等等，如果信号一点干扰都没有，几种方法的结果是一样的，但实际工程上不可能没有干扰，所以才有用几种方法估计，得到H1，H2，H3， Hv等等结果。（以上只讲思路，用语不讲究了）