直面quadrature(正交、九十度相位差)

深蓝梦境

　　直面quadrature(正交、九十度相位差)，对居士而言，即应交代一下，为何在研发中，直接用“正交共轭滤波器系统”和“双正交共轭滤波器系统” ，然而不常用与时髦的“quadrature mirror”字面对应的汉语词汇;对某些人们而言，即，看待离散小波变换时，也许该面对复信号。

　　当初开宗明义，割离连续时间离散化和数据边界延长的问题，研发有限长复数序列的变换。以“滤波器系统”(随了在“信号与系统”方面的习惯)偏重于指卷积滤波下抽样算子，后来为了简便有时用“组”代替“系统”。特地加入了“共轭”一词，以强调它们与基向量组的联系需共轭运算，要用内插零卷积滤波算子相伴随来协同定义，可兼顾“复空间”、矩阵的“共轭转置运算”、有些研究者用的“共轭算子”和“conjugate”。用“正交”、“双正交”分别直接对应表达“orthogonal”、“biorthogonal”。

　　在观念和表达中，把高通滤波器的“直流增益为零”锁定为“小波标记”，限定低通滤波器的直流增益的模值以根号2为标准，尽管在滤波器数据适当地定标以后的分解、合成中这些不是必要的。不预假设FIR，也不预定义各滤波器的冲激响应等之间有镜像似的联系。

　　望词生主意：认为“mirror”指倒序形式关系,如定义序列u(n)=v(-n);以“quadrature”或“conjugate quadrature”强调，在再经调制处理和适当调整相位谱(包括时移)后，两序列平移系之间的某一部分正交关系，这可由表达基向量之间的关系 “orthogonal”、“biorthogonal” 的词语吸收以免字面重复;特别地，可用“quadrature mirror”表达，实现这部分正交关系的处理过程和方法。

　　如图片1的例子所示。遇双正交变换时，难理解Matlab帮助文档中所说的quadrature mirror filters中的能量相加关系。然而，即使x是复随机序列，也可以通过Matlab的函数qmf处理(允许输入、输出复信号序列)后必须再取复共轭(似“CQMF”)得序列y，使y(长度为偶数)的偶数点平移系与x正交，这里不需滤波器问题、小波分解、完全重建等。因此，称呼小波变换中的滤波器组时，也宜插入“共轭”一词，强调与这部分简单正交关系的区别以及更多条件要求。

　　因地制宜，而不强辨也不必跟随：名著“十讲”对CQF、QMF的区分和讨论;有人用“二次镜像滤波器(QMF:quadrature mirror filters)”、“共轭二次滤波器子带编码方式”;也有文献用“conjugate mirror filter”或“conditions for an orthogonal QMF pair”;有研究者用“an exact quadrature mirror filter h(n)”,仅指通常的正交小波变换中的低通滤波器，再由h(n)定义高通滤波器g(n);“The low- and high-pass decomposition filters (L and H), together with their associated reconstruction filters (L' and H'), form a system of what is called quadrature mirror filters”，这就用了QMF指正变换和逆变换中的所有滤波器。当然，著名文献中表达技术上的这些失谐，不意味着其中理论实质和算法原则的谬误。

　　认为“负频率”有真实的物理意义。例如，钟表的时、分、秒针绕行一个圆周，各需要不同的时间，这种周期值的倒数即是经过零时点的正频率值。设想从钟背面观察、或特制钟使各针都反向转动，这时就可用负频率。以分针为观察基准，认为其静止不动，那么，时针、秒针的运动，也可由频率为负或正来区别表达。

　　以余弦函数x=Acos(wt)，定义平面上某运动质点的位置(x,0)，A、w和t分别表示幅度值、正频率常数值和时间变量。再想象在以原点为心A为半径的圆上，另有两个运动质点像影子似地始终与之保持相同的位置值x。这两个影子都做圆周运动，一个取反时针方向，另一个取顺时针方向，它们的角频率一个是正值、另一个为负值，即x=A(exp(jwt)+exp(-jwt))/2其中j表示虚数单位。当然，表达平面上质点的复杂运动，更需要复数域、复信号。

　　在信号的传输与接收中，常须要搬移信号的频谱。由傅立叶变换的性质可知，搬移信号s(t)频谱的直接方式是，将s(t)与exp(-jwt)相乘。在电子系统中，这可分为两个支路来实现。在一个同相支路(Inphase，I通道)中s(t)与cos(wt)相乘, 在另一路即正交支路(Quadrature，Q通道)中s(t)与cos(wt+pi/2)相乘，其处理结果可分别表示为信号的实部和虚部。如果，只有其中一个支路，就相当于同时用了exp(jwt)和exp(-jwt)搬移频谱，且它们搬移的结果是混淆在一起的，那么，可能就难再用滤波器等正确地检出所需要的有用信息。在Matlab的帮助文档中搜索quadrature，也易看到，它与现实(某些工具箱)的复信号的关系。

　　雷达、通信、生物医学工程等领域，都有复信号的许多应用。例如，从磁共振技术文献中，可见与上面描述相似的例子。人们常认为，噪声在实部图像和虚部图像中都是高斯噪声，然而在模像中低信噪比区域内则更非高斯噪声。

　　图片1. 考察QMF和CQF并截取要点



转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_729a92140102w971.html