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[静力学和运动学] 理论力学之动力学问题的通用解法

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发表于 2016-5-25 13:36 | 显示全部楼层 |阅读模式

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  理论力学有三大模块:静力学,运动学,动力学,其中动力学模块是最有难度的。其难度主要在于其变化多端,每一个题目好像都不好处理,有些题目拿到手以后一点思路都没有,而有些题目在参考书上又有诸多解法,这一点很让人迷惑。过多的解法会让人迷惑,而没有解法则让人心烦。那么对于动力学问题,有没有一种一般的解法可以进行求解呢?

  经过多年的摸索和总结,我得到一种相对通用的解法。这种解法可以直接解决大多数的问题,我在上课过程中十分强调这种通用解法,但是仍旧有一些同学没有掌握好,在课后又问动力学问题的解法,而且前一段时间也有不少考研同学,问到理论力学的动力学,我感觉仍旧是他们的通用解法没有弄清楚。实际上,对于绝大部分的动力学问题,使用通用解法思路简单明了,并不需要太多的聪明和技巧。所以我决定在这里连续再举几个例子,希望对那些没有掌握好通用解法的同学有所帮助。

  我们先从一个最简单的例子开始说明问题,这个例子我上课讲过,但是仍旧有不少同学没有弄明白。

1.png

  首先,我们知道,这是一个动力学问题,只知道重力,而A,B点的约束力均未知,而且任意时刻的加速度未知,角加速度也未知。
  其次,我们明白,对于动力学问题而言,所要求的未知数基本上就是两类
  (1)约束力。比如这里的A,B两点的支持力。约束力之所以是未知的,因为它们是由主动力所决定的。主动力改变,约束力就会跟着改变。

  (2)加速度。要么是刚体的角加速度,要么是求某一个点的加速度。我们知道,运动学中有三种刚体的运动:平移,定轴转动和平面运动。其中平面运动最复杂,前面两种可以看成是它的特殊情况,因此我们只关注平面运动好了。对于平面运动而言,使用基点法,可以求出任意一个点的加速度,如下图。

2.png

  这里要求出B点的加速度,如果C点加速度已知,而两个相对加速度都已知的话,那么B点加速度就确定了。

  这里法向的相对加速度取决于刚体的角速度,而切向的相对加速度取决于刚体的角加速度,即:

3.png

  所以,我们如果知道了刚体的角速度,角加速度,就可以得到这两个相对加速度。
  总之,只要知道一个基点的加速度,以及刚体的角速度和角加速度,那么按照基点法,任何一个点的加速度都可以求出来。
  在运动学中,基点可以任意选择,但是在动力学中,质心这个点非常特殊,所以,通常会选择质心为基点。
  这就意味着,只要我们知道了质心的加速度,刚体的角加速度(积分就是角速度),那么按照基点法,刚体上任意一个点的加速度都可以求出来。

  这样,我们明白,对于任意一个刚体而言,它的加速度有三个基本未知数:质心的加速度(大小方向未知,2个未知数),角加速度(1个,积分就可以得到角速度)。

4.png

  好,言归正传。我们开始使用通用解法来考虑这道题。
  这个题目要求角速度,角加速度,以及A,B两点的反力。
  由于角速度可以由角加速度积分而来,所以实际上是三个待求量:角加速度,A,B两点反力。总之,是要求加速度和约束力。
  现在我们决定,不管它要求什么约束力和加速度,我们都可以求出来,我们就寻找这种通用解法。

  (1)未知数分析

  画出该物体的受力图。

5.png


  从该图中知道,有2个未知的约束反力。

  接着画出加速度。我们只关心质心的加速度和刚体的角加速度。

6.png

  从该图中知道,有3个未知的加速度。
  所以,该问题的基本未知数是2+3=5个。

  (2)列动力学方程。

  这里只有一个刚体,直接使用刚体平面运动微分方程,3个。

7.png

  这样,动力学的方程就列完了,总是这三个方程。
  由于有5个未知数,而只列了3个方程,所以需要追加5-3=2个方程。
  这两个方程到哪里去找呢?
  不管到哪里去找,肯定要离开动力学。
  这样我们只有两个地方:静力学和运动学。

  (3)增加方程。
  静力学里面,只有滑动摩擦定律可以增加。但是它有前提,就是粗糙接触面,且发生了相对滑动。而这里没有摩擦,所以,静力学没有方程可以增加。
  这样,只有到运动学去找方程。
  到运动学里面找什么方程呢?

  就找上面刚体平面运动微分方程中,方程的右边几个加速度关系的方程。特绘制如下。

8.png

  那么如何找这几个加速度的关系呢?
  由于这些加速度发生在AB上,而AB在做平面运动。要求平面运动刚体上加速度的关系,常用的方法就是基点法。
  这就是说,要研究两个特殊点之间的加速度关系。
  这里有三个特殊点,A,B,C三个点,我们就分别研究B与C点加速度关系,A与C点加速度关系好了。

  首先考察B与C点加速度关系。

9.png

  取B点为基点,研究C点,其加速度图如下

10.png

  则根据基点法表示的加速度关系,有

11.png

  我们列出这个式子的目的,是要得到a(cx),a(cy),a的关系。该加速度关系式中有a(B),我们并不感兴趣。因此将上式向a(B)垂直的方向,即X方向投影,以避开该变量。

  得到如下式子

12.png

  也就是

13.png

  这样,我们增加了一个方程,该方程建立了a(cx),w,a的关系。我们注意到,这里又多出了一个未知数w,即角速度,先不管它。

  按照类似的方式,我们取A点为基点,研究C点,同样列出矢量式,再投影得到另外一个加速度关系式

14.png

  现在我们追加了两个方程。
  但是其中又引出了一个角速度。怎么办呢?
  使用最后一招,用动能定理求角速度。


  (4)用动能定理求角速度。

15.png

  这样,角速度成为已知量,从而原问题可以求解了。
  上述方法就是动力学问题的通用解法。

  总之,动力学问题的通用解法是:

16.png

  小结:本文给出了一个最简单的例子,目的是说明动力学问题的通用解法,后面会再给几个复杂点的例子,进一步说明通用解法的应用。


转自:http://blog.sina.com.cn/s/blog_9e19c10b0101baap.html

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