力学中的毕达哥拉斯情结

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约公元前580年，爱琴海东岸有一个叫萨摩斯的小岛（从地图上看，这个岛和土耳其是如此的近，但它确实是希腊领土），古希腊伟大的数学家、哲学家、毕达哥拉斯学派创始人毕达哥拉斯就出生在这里。他自幼好学，曾向古希腊著名哲学家阿那克西曼德（日晷与世界地图的发明人）学习天文和几何，向

斐瑞居德（也译作菲勒塞德斯，给出了三个永生的原始神明：克罗诺斯“时间”、宙斯以及克托尼亚“大地”）学习自然科学知识。因为向往东方的智慧，经过万水千山，游历了古巴比伦和古埃及，据说也可能到过古印度。在今天的地图上，他走了下面图例中（示意图）中的地方，我们无法知道毕达哥拉斯是否真的到过印度（古印度可能包括了印度河、恒河流域的一些国家，如印度、巴基斯坦、孟加拉国、尼泊尔、不丹、锡金），但在他的身上，行万里路，读万卷书，真是有过之而无不及！

毕达哥拉斯40岁之后，回到老家萨摩斯，但和僭主（jianzhu指通过政变或其他暴力手段夺取政权的独裁者）波吕克拉底关系不好，随离开家乡到南意大利的克罗顿创建盟会，并招受门徒，组建了一个政治、宗教、哲学、数学的综合性团体，这个团体就是毕达哥拉斯学派。

毕达哥拉斯有许多奇怪的规定，学生入会五年内要保持沉默，只准听课，不准见老师，只有通过考试后才能获得准许，并成为正式成员；学生所学知识要绝对保密，不得外传；禁止学生为老师祈求；禁止食用豆子、心脏、红鱼、黑尾鱼，不要用刀子拨火、不要使天平倾斜、不要坐在斗上等等。违者要收到惩罚。据说，他的学生希帕索因泄露“天体是由五角形构成的”和“不可通约数（即无理数√2）”的秘密，而被投入海中。

古希腊哲学最早是对万物本源的探索，如泰勒斯（古希腊哲学第一人）认为万物本源为水，阿那克西曼德认为是气，恩培多克勒综合了前人的观点，并添加土发展成为四元素说（随便说一句，中国有类似的五行思想）。在这个系列的探索中，毕达哥拉斯提出了数是万物本源的看法。他认为一切事物都由数产生，但不是说一切事物来源于数，而是说数在自然中是和谐的，数是自然界的一切事物的秩序。

首先，毕达哥拉斯定理（即勾股定理）就是这种秩序的一种表现，直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方和。毕达哥拉斯为庆贺他的这一杰作，他的弟子们举行了盛大的“百牛大祭”以表庆贺。

另外一种秩序就是自然遵从比例关系，经过认真挑选，他们选择五角星作为他们的标志。仔细对比就会发现五角形的比例关系为：BC:AB=AB:AC=AC:AD=0.618…  这个比例代表了自然界的绝大多数规律，似乎是一种幽藏于神明的天机。

                                                                                                                            叶子中的黄金分割

鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个的比都是黄金比例

自然界黄金分割的例子举不胜举，难怪毕达哥拉斯将其称为自然的法则。“黄金分割”正是文艺复兴大师达芬奇对这一比例的赞称，历代艺术家都在自觉或不自觉的遵循黄金分割点，我们所熟知的苹果公司的logo也暗含了多个黄金比例！

毕达哥拉斯另一个关于比例的研究是对弦振动的研究，也是动力学研究的第一个问题，在他之后差不多2000多年内，动力学几乎没有任何进展。毕达哥拉斯发现拨动单根琴弦时，弦的振动频率和拨动力没有关系，而是和弦的长度成反比，和弦的张力成正比（例如吉他，把吉他的弦调的很紧，弹出来的就是高频；或者手指按压琴弦，越短弹奏频率越高。但由于测量手段的限制，毕达哥拉斯给出的频率和张力的关系是错误的，正确结果是拉格朗日于1759年给出，与张力平方根成正比）。毕达哥拉斯研究发现：在给定张力的情况下，当一根琴弦被缩短到原来长度的一半时，拨动琴弦，音调将提高8度；当弦长的比率为3∶2和4∶3时，同时拨动两弦，会产生5度和4度的和声（和声就是不同频率的声音混叠产生的“美妙、和谐的声音”），而且这种比例越简单产生的和声听起来就越和谐、美妙（如2:1时产生的8度和声），相反如果比例越复杂就越难听，就越让人不舒服。在毕达哥拉斯眼里，美妙、和谐的声音就是宇宙的和弦，而宇宙的和弦也是利用比例来弹奏的。

此外，毕达哥拉斯还用多种数去解释自然，如三角形数、正方形数、完全数、盈数、亏数、亲和数，还发现了算数平均、几何平均、调和平均、比例中项以及三角恒等关系，他的研究导致了第一次数学危机，使人们认识到无理数。由于毕达哥拉斯学派的研究成果对外保密，且不准署名，今天我们无法知晓这些研究中，哪些是由毕达哥拉斯本人完成的，哪些是由其学生完成的。但是无论如何，毕达哥拉斯学派在人类历史上都留下了浓重的一笔。

约公元前500年，毕达哥拉斯创建学派因参与政治，学派遭受沉重打击（应该不是毕达哥拉斯自己的意愿，据说当时希腊用豆子进行选取，毕达哥拉斯警戒门徒不许参与政治，因此有了禁食豆子的门规！），被迫解散。但其思想在希腊化时期（古代地中海世界的“全球化”时代，一般指马其顿亚历山大征服后的北非、西亚、中亚和希腊世界，包括他去世后建立的三个王朝，时间从公元前334年至公元前1世纪）仍具有广泛的影响。到公元1世纪毕达哥拉斯学派重新复兴，正是这次复兴使得毕达哥拉斯学派获得了更为广泛和深远的传播，又200年后，到公元3世纪新的毕达哥拉斯学派与新柏拉图学派同流。

毕达哥拉斯学派认为“数”为万物之源，认为万物必依据数的秩序来构建，但过于强调比例关系，如果突破比例关系的限制，寻找自然规律的数学描述也正是当今科学研究的重要思路，这也是一种“透过现象看本质”的做法。当然不同的人对“本质”的认识也会不同。在伽利略时代，所有的学者都探讨为什么向上抛出的小球不停留在空中而要落向地面，当时人们不知道万有引力的存在，只能猜测“大地是小球的母亲，小球要重回母亲的怀抱，因此要落向大地”，好吧，伽利略可能觉得研究“为什么要落向大地”的问题太难了。他愿意降低自己的要求，退而求其次追求另一种本质，即小球是怎样落向地面的？因此，他去研究小球落向地面的运动是什么，诸如速度如何、加速度如何、所耗用的时间如何，他认为这些这些才是物体的客观性质。这样，伽利略摒弃了漫无目的的猜测，利用数学对小球的运动进行精确描述，最后伽利略也成了毕达哥拉斯，用数学去描述运动。

伽利略这种退而求其次的做法为力学研究提供了可行的方法，也只有伽利略对落体运动的精确描述，牛顿才可能找到控制落体运动的万有引力。这既是力学的研究途径、也是人类认识自然的顺序。再例如，讨论材料的破坏机理，金属学的学者必然从材料组分、晶界形貌、晶粒大小等方面考虑；生物学家必从蛋白分子、细胞机能去解释；而对于岩土、有机材料、合金材料等学科又各有区别，似乎只有把材料组分最核心的内容研究清楚了才能解释材料是如何破坏的。但力学家可能有自己的观点，他们认为材料的破坏机理体现的是强度理论，需要通过材料强度指标（转变为力和变形）去描述，而不同材料只是同一理论的不同应用而已。

五柳先生说“好读书，不求甚解；每有会意，便欣然忘食”，力学研究抛开具体的材料组成，从一般化的强度理论讨论材料破坏，和金属学、生物学、岩土等专门学科那种刨根问底式的研究相比，力学的确有些“不求甚解”，但这种一般化的认识更为珍贵，她提供了对材料不必刨根问底前提下获取材料属性的方法，这的确值得我们“每有会意，便欣然忘食”。此外，力学还是这些专门学科通往数学描述的桥梁，无论材料由哪种微观组成，他们的破坏最终需要转变为力和位移等力学量才能进行数学定量分析，这样力学就为专门学科的深入研究提供了基础，同时专门学科对材料组分的研究又反过来推动力学模型趋于更加准确，数学描述更加精确！

毕达哥拉斯学派提出数本源思想（更注重比例关系），伽利略则也认为自然之书是用数学语言写的，他们一个强调自然必依据“数”去构建，另一个则借助力学测量去发现用数学描述的自然。力学的研究范围之广，是几乎所有的工科专业的基础，如今管理学、经济学等文科专业也利用力学模型构建自身学科的数学体系。力学研究应该借用伽利略的方法，向着毕达哥拉斯的目标，利用力学原理揭示自然要遵循的数学规律。

当自然的一切可以用数学进行描述时，是否正应了毕达哥拉斯的那句话：“既然自然界在依靠数学设计秩序，万物又依此秩序来构造，怎能不说“数”是万物本源呢？”

最后，奉上毕达哥拉斯的名句，让我们一起感受毕达哥拉斯的个人魅力！

• 愤怒以愚蠢开始，以后悔告终。
  
  

• 不能制约自己的人，不能称之为自由的人。
  
  
• 要这样生活：使你的朋友不致成为仇人，使你的仇人却成为朋友。
  
  
• 思而后行，以免做出蠢事。因为草率的动作和言语，均是卑劣的特征。
  
  
• 无论是别人在跟前或者自己单独的时候，都不要做一点卑劣的事情：最要紧的是自尊。
  
  
• 在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们如何知道什么。
  
  
• 既然自然界在依靠数学设计秩序，万物又依此秩序来构造，怎能不说“数”是万物本源呢？
  
  

参考资料

• 林夏水毕达哥拉斯学派的数本说. 自然辩证法研究. 1989
  
  
• 维基百科https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagoras#Biographical_sources
  
  
• 吴振奎, 吴旻.  数学中的美.
  
  
• W.C.丹皮尔科学史及其与哲学和宗教的关系
  
  
• 百度百科：毕达哥拉斯, 毕达哥拉斯学派,  琴弦定律, 黄金分割，伽利略。
  
  

来源：张伟伟科学网博客


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