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[其他相关] 振动信号处理基础知识:功率谱和频谱有什么区别?

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发表于 2017-10-9 11:00 | 显示全部楼层 |阅读模式

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  功率谱的基本概念

  在物理学中,信号通常是波的形式,例如电磁波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以一个适当的系数后,将得到每单位频率波携带的功率,这被称为信号的功率谱密度(power spectral density, PSD)或者谱功率分布(spectral power distribution, SPD)。功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数(W/Hz)表示,或者使用波长而不是频率,即每纳米的瓦特数(W/nm)来表示。

  功率谱是一种概率统计方法,是对随机变量均方值的量度。一般用于随机振动分析,连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述,即出现某水平响应所对应的概率。功率谱密度函数是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果,是一条功率谱密度值与频率值的关系曲线,其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。数学上,功率谱密度值与频率值的关系曲线下的面积就是方差,即响应标准偏差的平方值。谱是个很不严格的东西,常常指信号的Fourier变换,是一个时间平均(time average)概念。功率谱指的是信号在每个频率分量上的功率,频谱其实是一个幅度谱,只是信号在各个分量上的幅度值。因为通信中一般对于信号的分析都是把信号看作电压值,所以功率就是电压的平方再除以电阻值。为了分析简单归一化,令R=1,这时候功率谱就是频谱模的平方了。模也就是实部分量和虚部分量平方和的开方,故功率谱保留了频谱的幅度信息,但是丢掉了相位信息,所以频谱不同的信号,其功率谱是可能相同的。

  功率谱和频谱有两个重要区别

  其一,功率谱是随机过程的统计平均概念,平稳随机过程的功率谱是一个确定函数;而频谱是随机过程样本的Fourier变换,对于一个随机过程而言,频谱也是一个“随机过程”。

  其二,功率概念和幅度概念的差别,我们只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱,其存在性取决于二阶矩是否存在及其Fourier变换是否收敛;而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的,该样本的Fourier变换是否收敛。

  举例:

  若一个确定信号f(t),-∞<t<∞,满足狄氏条件,且绝对可积,即满足:
1.png
  则f(t)的傅里叶变换存在,为:
2.png
  S(ω)与s(t)满足Parseval定理:
3.png
  一个随机过程的样本函数,尽管它的总能量是无限的,但其平均功率却是有限值,即:
4.png
  若f(t)是功率有限信号,从f(t)中截取t≤T/2的一段,得到一个截断函数fT(t),如下图所示。
5.png
  该截断函数可以表示为:
6.png
  如果T是有限值,则fT(t)的能量也是有限的。令fT(t)的傅里叶变换为FT(ω),则利用Parseval定理fT(t)的能量ET可表示为:
7.png
  因为,
8.png
  所以f(t)的平均功率为:
9.png
  当T→时,fT(t)→f(t),此时FT(ω) 2/T可能趋近于一极限。假若此极限存在,定义它是f(t)的功率谱密度函数,简称功率谱,记作s(ω)。这样便得到f(t)的功率谱为:
10.png
  由此可得:
11.png
  由上式可见,功率谱表示单位频带内信号功率随频率的变化情况,也就是说,它反映了信号功率在频域的分布状况。显然,功率谱曲线S(ω)所覆盖的面积在数值上等于信号的平均功率。S(ω)是频率ω的实偶函数,它保留了频谱FT(ω)的幅度信息而丢掉了相位信息。因此,凡是具有同样幅度谱而相位谱不同的信号都有相同的功率谱。

  来源:百度文库《随机振动的功率谱分析》由LWahching分享

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发表于 2017-10-9 18:07 | 显示全部楼层
本帖最后由 hcharlie 于 2017-10-9 20:03 编辑

关于功率谱和频谱,前面做了很精彩的阐述。但我觉得太偏理论了,对于大部分工程师和同学们来说,更关心自己的问题如何去套用这些理论,他们首先要了解自己的问题在无穷域(绝对值)的积分是否收敛,然后才能确定怎么做,这对于大多数初学者来讲,是极困难的。
这里说的是振动信号的处理,工程师们碰到的信号,没有一个是无穷域的,即使是现在的“大数据”也是有限的,有限域内不存在积分是无穷大的问题,技术上做DFT,FFT,PSD都没有困难,都能得到数据结果,那么究竟用频谱(FFT)还是功率谱(PSD)?
有了这些理论基础,就可以根据自己的问题作出判断。首先要明确我们的有限域的问题只能接近无限域的问题,理论上的讲究精确,准确无误,在工程上只能做到近似,在一定的误差范围之内,所以工程师们要记住不仅要得到问题的解,还要对自己的解的误差范围做出估计。
既然在正式工作之前要确定自己研究的问题的类型,所以本人初步做下述情况作参考:
1)正弦信号或周期信号,用频谱法,做整数周期的DFT,FFT得到精确解,如果不是整数周期,就有误差,为了减小误差选择加不同的窗。记住,凡是加窗,得到的都是近似解;
2)稳态(各态历经)随机,用PSD法求功率谱密度估计,既然是估计,为了提高估计的精度,需要做多帧的PSD平均;
3)冲击响应,用DFT,FFT做频谱;
4)机器的振动,接近周期振动;
5)汽车飞机桥梁的振动接近随机;
6)直升机的振动,接近正弦加随机,其随机部分用PSD法,正弦部分用频谱法,分两次做;
7)等等。。。。

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说到底还是基本功不行啊,看来只能闷着头搞一遍了,欲哭无泪啊  详情 回复 发表于 2017-10-9 20:27
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发表于 2017-10-9 20:24 | 显示全部楼层
没有耐心把这些公式推一遍啊
发表于 2017-10-9 20:27 | 显示全部楼层
hcharlie 发表于 2017-10-9 18:07
关于功率谱和频谱,前面做了很精彩的阐述。但我觉得太偏理论了,对于大部分工程师和同学们来说,更关心自己 ...

说到底还是基本功不行啊,看来只能闷着头搞一遍了,欲哭无泪啊

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这几个公式还是比较好推的吧  详情 回复 发表于 2017-10-12 13:24
发表于 2017-10-12 13:24 | 显示全部楼层
xww0.1 发表于 2017-10-9 20:27
说到底还是基本功不行啊,看来只能闷着头搞一遍了,欲哭无泪啊

这几个公式还是比较好推的吧

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基础非常差,得一点一点来  详情 回复 发表于 2017-10-12 19:31
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发表于 2017-10-12 19:31 | 显示全部楼层
eastar 发表于 2017-10-12 13:24
这几个公式还是比较好推的吧

基础非常差,得一点一点来
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