有效质量与有效弹性，负质量与负弹性系数

weixin

　　迩来负质量和负弹性模量等新概念盛行于物理学界。传统声学专业工作者多不明其里，以为新概念。其实，两者并未引入新物理，不过把复杂的力学行为用等效惯性或等效弹性描述而已。比诸普通所认知的质量和弹性系数，有效质量和等效弹性系数乃动态参量，反映动态行为。它们多呈现为振动频率的函数，取值甚至可负。

　　虽然，这些新概念不足以刻画振动系统的力学本性(惯性与弹性)，但作为一种等效参数的分析方法，有时却可化繁为简，有助于简化对复杂振动问题的分析。本文以简单质点振动系统为例，阐明有效质量和有效弹性的概念和分析方法，并介绍负质量和负弹性之意义。

　　众所周知，刻画振动系统动态力学特性的是其力(机械)阻抗Zm，由力阻Rm和力抗Xm构成：Zm=Rm + jXm；力阻Rm消耗系统的能量，力抗Xm储能于系统中。力抗Xm本身又是系统惯性和弹性的集中体现，一般是频率ω的复杂函数，可正可负。正的力抗表明系统总体呈惯性，工作在惯性(质量)控制区，而负的力抗则表明系统总体呈弹性，工作在弹性控制区。然而，在有些场合，人们为问题处理方便，迳把力抗等效为单一的惯性抗或弹性抗，因而有所谓的有效质量或有效弹性的概念，正如根据辐射抗定义辐射(同振)质量一般。

　　然而，很多情形下人们对所关注的力抗的性质认识有限，因此在使用有效质量和有效弹性之间模棱两可。为尽量避免之，要求所定义的有效参量：
　　   尽量与对应的物理量在概念上保持一致;
　　   具有最弱的频率依赖性(当然最好是与频率无关的常数)。

　　1、有效质量

　　图1的黑色区域是刚性物，可视为质量为M的质点。刚体内隐含空腔，腔中有弹性常数为K的弹簧和质量为m的小球，构成的弹簧-质点振动子系统;弹簧K之一端固定于腔壁，随刚体而动。外力F直接作用于刚体外壳，使其产生速度v(t)。咋视之，系统整体似一质点，总质量Mm=M+m。但是，牛顿第二定律却不成立：

　　而须修正为

　　式中， Meff称为有效质量(effective mass)。

　　图1所示的力学系统其实可以画成如图2(a)所示的质点振动模型，虚线围成部份相当于图一中隐藏于腔体内的振动子系统，参数对应关系为：M=Mm1，m=Mm2，K=Km。此外，还考虑了作用于Mm1的力阻。此振动模型的阻抗型类比线路如图2(b)所示。

　　设驱动力是简谐的，频率为ω。根据类比线路，可把输入机械阻抗Zm分为机械阻和机械抗两部分：

　　式中，已经把机械抗写成等效惯性抗的形式。稍作处理，得到有效质量：

　　式中，  ω0是整个系统的串联共振频率，而ω2是Km-Mm2子系统的固有频率，且ω2<ω0。上述公式表明，内部子振动系统之存在，等效于在Mm1的质量上增加ΔMm1的增量。所以，图2(b)的类比线路等效于图2(c)所示的。当ω=ω0，系统发生共振，输入机械抗Im(Zm)=0，故有效质量Meff=0。而在ω=ω2处，仅Km-Mm2子系统发生共振;这个共振属于反共振(anti-resonance)类型，子系统的阻抗无穷大，  Mm1的位移为零，相当于Mm1系于固定边界上，故而等效质量无穷大。显然，有效质量Meff是一个动态(ω≠0)参量，强烈依赖于频率ω。图三画出了此依赖关系，其中红线和蓝线分别对应于Mm2不同的大小。

　　从图三可见：
　　(1) 重质量区：ω<ω2
　　在此低频範围，等效质量大于两质量之和：Meff>Mm1+Mm2。所以，在内部子系统的影响下，整个系统彷彿变重了。只有当ω→0 时，   Meff→Mm1+Mm2(系统的静态总质量)。但当频率从低趋向反共振频率ω2时，有效质量趋于正无穷，致使外力F无法推动Mm1。

　　(2) 负质量区： ω2<ω<ω0
　　在此频率範围内，有效质量是负的：Meff<0。负质量意味着质点加速度与外力的方向相反，类于电场力作用下电荷的运动。当频率ω从高降至子系统反共振频率ω2时，等效质量趋于负无穷：

　　有效质量为负，说明弹性起支配作用。

　　(3) 轻质量区：ω >ω0
　　在此高频区间内，恒有Meff<Mm1，即Mm1彷彿变轻了。极高频时，才有Meff≈ Mm1，彷彿Mm2不存在。

　　值得注意的极端情形是，子系统的质量Mm2 →∞，相当于弹簧的右端固定，图2(a)所示的系统退化为由质量Mm1和弹簧Km构成的单振子。如此则有，ω2→0， ω0 →ω1。

　　显而易见，负质量的频率範围就是单振子的弹性控制区。只因把弹性效应等效为惯性效应，有效质量自然呈负。因此，负质量并非意味着存在新的物理机理，其不过把系统的弹性等效为惯性而已。

　　例：机器震动抑制
　　下图四表示质量为Mm的机器，其下垫有弹性系数为Km的弹簧(或等效物)，以期达到减震目的。但是，机器的质量和下垫的弹簧构成了振动系统，会发出由其固有频率决定的强烈振动。为减弱此振动的影响，可以在机器上附着一弹簧-质点子系统，如图虚线内部份所示。子系统的效应，表现在Mm的等效质量Meff上。设计子系统，使其固有频率等于机器的固有震动频率，则有效质量近乎无穷大，从而机器因惯性极大而不易震动，达到抑制震动的目的。

　　2、有效弹性系数

　　也可以根据实际情况把力学系统或某子系统的力学性质等效为有效弹性。最甚者莫过于把图5(a)所示的单振子等效为一个“弹簧”。系统由弹簧K和质量M组成，外力F作用在弹簧之一端，弹簧的另一端连接质量M。图5(b)是其类比电路。这是一个并联线路，与外力作用于质量M的单振子类比线路不同。对外力F而言，“接触”点是弹簧，不是质量;是以，外力F自然把所作用的系统视为弹簧!惯性固然起作用，只是把它计入弹性罢了。显然，从认识论的立场而言，此种武断等效似有认识“退化”之嫌。

　　假设外力是简谐的，频率为ω，作用端的位移为ξ，质点M的位移为η，则存在如下力平衡关系：

　　注意到d/dt= jω，从上式的第二个等式易得：

　　代入前一方程的第一等式，经整理得到：

　　式中， ω0是单振子的固有频率，Keff称为有效弹性系数(effective stiffness constant)。可见，等效的弹簧仍然服从胡克定律。把图5(b)类比线路的输入阻抗等效于弹性抗，也可以得到Keff：

　　当频率ω低于固有频率时，弹性系数是负的——负弹性系数。负的弹性稀释实际上表明系统是惯性起支配作用，物理弹簧K的弹性贡献较小。当ω=ω0时，有效弹性系数呈奇异性，表明等效弹簧呈刚性，在力的作用点的位移为零：ξ=0。事实上，固有频率ω0是系统的反共振(anti-resonance)频率。仅当频率远大于固有频率的高频时，Keff≈ K，因为在高频时，质量M的惯性力是如此之强，以致可视之为静止不动，系统的弹性几乎由物理弹簧K决定。

　　诚然，如有必要，也可通过上列力阻抗可把图五系统等效为一个有效质量：

　　实际上，就本例而言，两种等效皆可。事实上，低频时等效为质量更自然，高频时等效为弹簧更可取：

　　下图6(a)是一个稍复杂的振动系统，由两个弹性系数分别为K1和K2的弹簧和一个质量为M的质点构成，质点M位居其中，分别连接连接两个弹簧。弹簧K1的一端施加外力F，弹簧K2的另一端固定。当K2→0，系统就退化为图5所示的单振子。

　　可以证明，系统的(静态)弹性系数为：

　　如果F是静力，则胡克定律成立：F=-Kξ，(ξ=ξ1+ξ2)，其中ξ1和ξ2分别为两个弹簧的伸长量，ξ是受力点的位移。但是，当F是频率为ω的简谐力时，胡克定律失效。其实，根据图6(b)的等效线路，得到系统总输入机械阻抗：

　　式中，谐振频率：

　　由于忽略了可能存在的力阻，Zm是一个纯机械抗。显然，把它等效为一个弹性抗 Zm = Keff/jω则十分自然，有效弹性系数Keff或其倒数(有效力顺Ceff)为：

　　利用有效弹性系数，胡克定律依然成立

　　与此前不同，本例给出的力阻抗Zm不适合于等效为一个惯性(质量)抗jωMeff，因为如此得到的有效质量Meff具有更复杂的频率依赖关系。图7绘出了有效弹性系数的频率变化关系。

　　从图7可见：
　　(1) 软弹簧区：ω<ω2
　　有效弹性系数是正的，但是 Keff<K。低频时，质量M的影响甚小;当ω→0(静态)时，  Keff→K(准静态近似)。随着频率的增高，系统固有的惯性起作用，部分抵消了弹性，使得有效弹性系数单调地降至零。ω2是子系统M-K2的串联共振频率。在此共振下，输入阻抗为零，故而有效弹性系数呈零。

　　(2) 负有效弹性系数： ω2<ω<ω0
　　有效弹性系数是负的——负弹性系数：0>Keff>-∞。该区间实际上是惯性控制区间。惯性之大，以致于有效弹性系数呈负性。当频率从ω2增高到ω0时，有效弹性系数从零趋向负无穷大。要强调的是，此处的ω0是图7(b)中两个并联线路的共振频率，故是反共振频率。在反共振下，外力作用点的位移响应近乎零，呈刚性，所以有效弹性系数趋向无穷。

　　(3) 硬弹簧区： ω>ω0
　　有效弹性系数恆正： +∞>Keff>K1。而且，当频率从ω0增高时，Keff从正无穷大单调减小至K1。高频时，质量的惯性是如此大，以致可视之为静止不动。

　　来源：网易聲之韻博客，略有删减

　　作者：王新龙，南京大学声学研究所

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