基础理论知识：振动与声学量的复数运算规则

weixin

　　振动与声学量虽然是可观测的实数物理量，但也可用复数表示。复数表示不但可极大地简化数学演算，还可彰显其物理意义，因此无论在线性还是在非线性的声学理论中，均广泛采用复数表示声学量。本文简述声学量的复数表示及运算规则，并举例说明。

　　设小写的x为实数量，而大写的X为对应的复数量，即x=Re(X)，其中Re(X)表示取复数量X的实部，即：

　　其中右上标的星号“*”表示复共轭操作。显然，实数量x与其对应的复数量X并非一一对应。复数量X加上任意的纯虚数jy并不影响其意义：

　　加法规则

　　若x，y和z为实数量，a和b是任意的实数，z=ax+by。设x，y和z对应的复数量分别为X，Y和Z，即x=Re(X)，y=Re(Y)，z=Re(Z)，则因：

　　所以，复数量X，Y和Z之间存在以下关系：

　　现设x是时间t的函数：x=x(t)。它对应的复数量X也是时间的函数：X=X(t)。由于导数和积分本质上是线性加法运算，因此存在关系：

　　即复数dX/dt是实数量导数dx/dt对应的复数量，复数积分∫Xdt是实数积分∫xdt对应的复数量。

　　乘法规则

　　现设z是x和y之积，z=xy，对应的复量为Z。根据定义：

　　所以：

　　或者

　　再次申明，上式中两个表式所给出的Z，数学上严格而言是不等的，只因Z的实部才有物理意义，故两种表示物理上等价。时间简谐量的周期平均值

　　时间简谐量的周期平均值

　　复数表示对于简谐声学量的计算尤其有效。假设与时间t的依赖关系为exp(jωt)，其中ω=2π/T为频率，T是振动周期，j是虚数。例如，X和Y是时间简谐的复量：

　　其中，Xa和Ya分别为X和Y的复振幅，是与时间t无关的常数。则有：

　　根据：

　　此时乘积z=xy的复数表达式为：

　　上式第二项有时间依赖关系exp(2jωt)，描述了乘积量z的瞬态运动。这是一个二次谐波(频率2ω)，其周期平均为零。第一项是与时间无关的“直流”项，等于复量Z的周期平均值：

　　所以，乘积量z=xy的周期均值为：

　　即，存在以下重要的乘积平均法则：

　　对于简谐振动而言，振动物理量本身的时间均值往往为零。但如振动量的乘积等非线性运算，多产生类似的“直流”项，因而平均值非零。“直流”和高次谐波的产生为典型的非线性效应。

　　以下以若干典型振动与声学量为例，说明复数运算的应用
　　单振子周期平均能量
　　设有质量为Mm、弹性系数为Km的单振子，其质点的位移为x，速度v，对应的复位移为X，复速度为V。单振子的势能和动能分别为：

　　若单振子仅作简谐振动，则根据乘积平均法则公式，势能和动能的一个周期平均值分别为：

　　对于自由振动，有：

　　代入前式，知平均势能等于平均动能：

　　声能通量密度和声强的运算
　　声能通量密度I为声压p与速度矢量v的乘积：I=pv。声压、速度和声能通量密度等物理量本身是实量，但均可以用复数表示。在振动与声的问题中，极大部分情形下所涉及的是复数量及其运算，因此在下文中我们放弃前面采用大写字母表示复量的做法，而一概约定：除非特别说明，所有的变量符号均表示对应实量的复量，如复声压、复速度和复能量通量密度仍用p、v和I表示，如果确实需要用到实数量，则只要对这些复数量取实部操作Re即可。例如，根据

　　复声能通量密度的公式可写成：

　　取实部Re(I)即为实声能通量密度。

　　对频率为ω的简谐声波，上式的第一项描述声能通量密度之瞬变，而第二项是“直流”分量，为复声能通量密度之时间均值：

　　取其实部即得到声强：

　　可见，采用复运算，易分离场量(此处是声能通量密度)的时变和时不变成份。

　　平面行波情形：对于平面行波，传播方向为n(单位矢量)，则媒质质点的振速v=(p/z0)n，代入复声能通量密度的公式和上式得到

　　式中z0= ρ0c0是媒质声特性阻抗率。

　　声能密度的复数运算
　　用实声学量表示的流体声场的(瞬时)声能密度为：

　　其中的声压p和速度v是实数量。若全改用复量表示，且仍采用相同的变量符号，则上式应改为：

　　对频率为ω的简谐声波，上式后一等式中的第一项描述声能密度的瞬时变化，而第二项是“直流”分量，实为复声能密度之时间周期均值，取其实部即为平均声能密度。因此，简谐声场的平均声能密度为

　　平面行波的情形：对于沿方向n传播的平面行波，把v=(p/z0)n代入上两式得到：

　　来源：网易聲之韻的博客
　　作者：南京大學聲學研究所 王新龍